山东省单县教研室(274300)周启杰

一、问题提出

题目(2010年高考福建省理科第15题)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足：

(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;

(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论：

①对任意m∈Z,有f(2m)=0;

②函数f(x)的值域为[0,+∞);

③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;

④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1).”

其中所有正确结论的序号是____.

(正确答案为：①,②,④.解析从略.)

该题考查了一个抽象函数：f(2x)=2f(x),利用x∈(1,2]时f(x)=2-x将函数f(x)定义为具体的分段函数.从图象变换的角度,我们可以直观得到函数图象,避免赋值迭代技巧.设P(x0,y0)是函数f(x)图象上任意一点,那么由f(2x)=2f(x),得f(2x0)=2f(x0)=2y0,即点(2x0,2y0)也在函数f(x)的图象上.也就是说,f(x)图象上任意一点的横坐标、纵坐标都变为原来的2倍后,对应的点仍在函数的图象上.反过来,f(x)图象上任意一点的横坐标、纵坐标都变为原来的倍后,对应的点也在函数的图象上.因此,按照这种伸缩变换,可以画出函数的图象(如图1).

图1

可以看出,性质f(2x)=2f(x)的本质是图象的伸缩变换.为什么在(1,2]上定义函数呢?由(1,2]上的图象,可以向右无限扩展,但向左扩展,似乎有个“界限”,那么这个“界”是谁呢?函数的定义域为什么是(0,+∞)呢?

二、问题解决

如果在区间(a,b](a＜b)上定义函数,那么利用f(2x)=2f(x)一次次作用,对应区间分别为

其中m∈N+.当b=2a时,由a＜b知a＞0,上述区间沿x轴正方向依次排列,此时相邻区间彼此刚好相连.

其中m∈N+,这些区间沿x轴负方向依次排列,相邻区间彼此刚好相连.由于可知函数图象向左扩展时的“界限”就是x=0,函数的定义域就是(0,+∞).

也就是说,若函数f(x)满足f(2x)=2f(x),如果在区间(a,2a](a＞0)上定义f(x),那么f(x)在区间(2ma,2m+1a](m∈Z)上也有定义,函数定义……