陕西省西安市高新区高新第三中学 吕二动

陕西省西安市西北大学附属中学 郭 涛

题目如图1,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3.

(I)求圆C的方程;

(II)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证：∠ANM=∠BNM.

图1

解(I)设圆C的半径为a(a＞0),则由题意得圆心坐标为(a,2),因为|MN|=3,所以故圆C的方程为

(II)证明：把y=0代入方程

解得x=1或x=4,即点M(1,0),N(4,0).

(i)当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),由

得

因为点M在圆O内,所以上述方程有两实根,设A(x1,y1),B(x2,y2),从而

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

(ii)当直线AB⊥x轴时,∠ANM=∠BNM成立.

综上,∠ANM=∠BNM成立.

一、命题研究与拓展

笔者对此题进行研究发现M(1,0),N(4,0)两点的横坐标之积为r2,便有下面结论：

结论1过圆C:x2+y2=r2内一点M(x0,0)作一条直线与圆C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则∠ANM=∠BNM.

此结论的证明仿照前面题目.

笔者继续对此题进行研究,猜想此结论能否推广到椭圆、双曲线、抛物线呢?答案是肯定的.

结论2已知椭圆C:1(a＞b＞0).过椭圆内一点M(x0,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为右(左)焦点时,点N对应的点正好为右(左)准线与x轴的交点.

结论3已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0).过x轴上一点M(x0,0)(x0/=0)的直线与双曲线C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为右(左)焦点时,点N对应的点正好为右(左)准线与x轴的交点.

结论4已知抛物线C:y2=2px(p＞0).过x轴上一点M(x0,0)(x0/=0)的直线与抛物线C相交于A,B两点,点N(-x0,0),连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：y2-2mpy-2px0=0,所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为焦点时,点N对应的点正好为准线与x轴的交点……