广东省佛山市乐从中学(528315)林国红

抛物线是高中数学的重要内容之一,特别是直线与抛物线相切的题型,因其内涵丰富,变化多,解题的灵活性大,已成为高考中的重要考点,倍受命题者所推崇.本文对一道与抛物线的切线相关的高三模考题进行探究,并对题目的问题进行一般化的推广,与读者分享.

一、原题呈现与解答

过点A(-2,3)作抛物线y2=4x的两条切线l1,l2,设l1,l2与y轴分别交于点B,C,则△ABC的外接圆方程为()

A.x2+y2-3x-4=0

B.x2+y2-2x-3y+1=0

C.x2+y2+x-3y-2=0

D.x2+y2-3x-2y+1=0

考虑到本题与抛物线的切线有关,可以用抛物线的切线方程与切点弦方程来解决.

引理1过抛物线y2=2px(p＞0)上一点M(x0,y0)的切线的方程为y0y=p(x+x0).

引理2设抛物线外一点M(x0,y0)作抛物线y2=2px(p＞0)的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为y0y=p(x+x0).

解设切线l1,l2分别切于点M(x1,y1),N(x2,y2),l1,l2与y轴分别交于点B,C.由引理2,可得切点弦MN的方程3y=2(x-2),联立消去x可得y2-6y-8=0,由韦达定理,有又由引理1可得切线l1的方程为y1y2=2(x1+x2),令x=0,有

设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0,得到y2+Ey+F=0,则是此方程的两个根,于是有

解得D=1,E=-3,F=-2.所以△ABC的外接圆方程为x2+y2+x-3y-2=0,故选C.

图1

图2

图3

二、探究(1)

在解决问题的过程中,发现点F在△ABC的外接圆上,且AF为外接圆的直径(如图1),是数据凑巧?还是具有一般性呢?利用数学软件GeoGebra,发现变换点A的位置时,A,B,C,F四点共圆,且圆的直径仍为AF(如图2),也就是说上述题目可推广.

定理1设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,过抛物线外一点A(x0,y0)作抛物线的两条切线l1,l2,若l1,l2与y轴分别交于点B,C,则A,B,C,F四点共圆,且此圆的直径为|AF|.

证明当点A在y轴上时(如图3),A,B重合,切点N与C及坐标原点重合,此时结论明显成立.

当点A不在y轴上时(如……