赵轩

摘要：函数极限是高等数学的重要构成部分，它贯穿高等数学的始终，本文对高等数学课程中常用的定义法、函数连续性、两大重要极限、洛必达法则等求极限的方法进行了分析，结合不同的求极限例题进行对比研究。

关键词：高等数学；函数极限；洛必达法则

1 用定义法求函数的极限

用极限的ε-δ定义证明函数极限问题时，关键的一点是找出δ，必要时可先将x限定在某一取值范围之内再进行讨论.

定义1设f为定义在[m+∞]上的函数，A为定数，如果对任给的ε>0存在正数（x≥m），使得当（x>X）时有： ，则称函数f当x趋于 +∞时以A为极限，记作

下面列举一个应用ε-X定义来求取函数极限的例子。

例1：用极限定义证明

证：由

任给ε>0，取δ=ε，则当 时，就有

由函数极限的ε-δ定义有：

2 利用连续性求函数极限

由于一切初等函数在其定义域范围内都连续，所以求初等函数在其定义域内某点x0处的极限，可直接用 来求取。

但是若x→x0，函数f（x）在点x0是间断点，则不能直接代入数值计算。而应根据具体函数的特征，对它进行适当的变形，这样再去利用函数的连续性求极限即可。

下面举个具体的例子来探讨一下，如何利用连续性来求函数极限的问题.

例2 求极限

解：

由连续性可知如果函数f（y）在y=y0点连续，就有 ，且 是有理函数，分母是 .因此，它是（-∞，+∞）上的连续函数。

3 利用两个重要极限求函数的极限

我们所熟悉的两个重要极限是：

公式中的x都可以看作整体来对待。

其中，第一个重要极限是“ ”型；第二个重要极限是“I∞”型。

在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形。

这个问题很多同学在拿到题目的时候就会想到重要极限公式，不假思索的就写出它的极限为1。但是我们仔细的分析一下，在问题中我们首先把其转化为 ，令 ，极限变为 ，可以看到这个问题中的自变量的变化趋势与 是不同的，所以不能利用重要极限来求。

解因为 是一个有界量，而x是x→0时的无穷小，所以 。

4 利用洛必达法则求函数的极限问题

定理（ 型未定式，x→a）设函数f（x）、g（x）在a点邻域内有定义（点a本身可以除外），且满足：

（2）f（x）、g（x）在点a的一某邻域内（a本身可以除外）均可导，且g（x）≠0，

则当 存在（或为∞）时， 亦存在（或为∞），且

定理 设函数f（x）、g（x）在点a邻域内有定义（点a本身可以除外），且满足：

（2）f（x）、g（x）在点a的一某邻域内（a本身可以除外）均可导，且g（x）≠0，

则当

且 .

利用洛必达法则求未定式的极限，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以利用此法则.但使用时，要注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法互相结合使用，这样便可大大的简化极限的运算。

在使用洛必达法则时，应特别注意以下几点问题：

（1）洛必达法则在求极限的时候要求函数存在导数，且导数商的极限存在。

（2）洛必达法则可以连续使用，但是每次必须检验是否属于“ ”型或者“ ”型未定式。如果不是，就不能使用洛必达法则。

（3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出。

（4）不是任何未定式的极限都可以用洛必达法则求出极限。也就是说洛必达法则有时失效。

下面列举一些具体的利用洛必达法则解决函数极限的问题.

例6 求极限 .

解这是一个 型的极限，满足洛必达法则的条件，注意两次使用洛必达法则，得

由于函数f（k=）ek，g（k）=3k2均满足洛比达法则的条件，故再次利用洛比达法则得

盡管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有效的方法，许多极限题目用了洛必达法则能很快得出结果，但是必须指出的是该法则并不是万能的。对有些题目如使用法则求导后出现极限不存在的现象，法则就失效了，应改用其它求极限方法。

例如：当y→0时，函数中含有 时或当 函数中含有siny或cosy时.

但由于所举例题有限，不可能将各种情况都提到。如果使用洛必达法则解题时，过程越来越烦且前景不太乐观，就要及时停止，改用其他方法。因此在碰到具体问题时，还需根据实际情况灵活应用洛必达法则及其他方法求出其极限。