赵轩

摘要：函数极限是高等数学的重要构成部分，它贯穿高等数学的始终，本文对高等数学课程中常用的定义法、函数连续性、两大重要极限、洛必达法则等求极限的方法进行了分析，结合不同的求极限例题进行对比研究。

关键词：高等数学；函数极限；洛必达法则

1 用定义法求函数的极限

用极限的ε-δ定义证明函数极限问题时，关键的一点是找出δ，必要时可先将x限定在某一取值范围之内再进行讨论.

定义1设f为定义在[m+∞]上的函数，A为定数，如果对任给的ε>0存在正数（x≥m），使得当（x>X）时有： ，则称函数f当x趋于 +∞时以A为极限，记作

下面列举一个应用ε-X定义来求取函数极限的例子。

例1：用极限定义证明

证：由

任给ε>0，取δ=ε，则当 时，就有

由函数极限的ε-δ定义有：

2 利用连续性求函数极限

由于一切初等函数在其定义域范围内都连续，所以求初等函数在其定义域内某点x0处的极限，可直接用 来求取。

但是若x→x0，函数f（x）在点x0是间断点，则不能直接代入数值计算。而应根据具体函数的特征，对它进行适当的变形，这样再去利用函数的连续性求极限即可。

下面举个具体的例子来探讨一下，如何利用连续性来求函数极限的问题.

例2 求极限

解：

由连续性可知如果函数f（y）在y=y0点连续，就有 ，且 是有理函数，分母是 .因此，它是（-∞，+∞）上的连续函数。

3 利用两个重要极限求函数的极限

我们所熟悉的两个重要极限是：

公式中的x都可以看作整体来对待。

其中，第一个重要极限是“ ”型；第二个重要极限是“I∞”型。

在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形。……