陈相锦 ，董怡雯 ，周冰滢 ，王 杰 ，赵威亦 ，贺勤斌 ＊

（1.台州学院 数学与信息工程学院， 浙江 临海 317000；2.台州学院 机械工程学院， 浙江 台州 318000；3.台州学院 经贸管理学院， 浙江 台州 318000）

1 引言与定理

计算分形的Hausdorff维数与测度是分形几何的重要研究内容.但是分形的Hausdorff测试计算相对Hausdorff维数计算更加困难［1］.迄今，仅有少数的Hausdorff维数小于1的自相似分形其测度被准确计算出［2］.当分形的Hausdorff维数大于1，其测度计算相对非常困难［3］.本文，我们给出一个维数大于1的分形（Sierpinski地毯）的Hausdorff测度上下限的估计式，改进了文［3］的上限计算结果.

一个Sierpinski地毯的构造，取单位正方形S0，分别在其四个顶点处作4个边长为1/3的小正方形，保留4个小正方形，去掉其余部份.我们把所得的结果记作S1.同样，我们对S1中的每个小正方形重复上述作法，记所得的集合为S2.对每一步得到的小正方形不断重复此过程，这样我们就构造了一个Sierpinski地毯（见图 1）.这个过程满足 S0∪S1…… ∪Sk…….

本文的主要结果：

定理 上述Hausdorff维数s=log34的Sierpinski地毯，它的Hausdorff测度满足不等式1.227206≤HS（S）≤1.501077.

2 相关命题及引理

易知，Sn是由4n个小正方形构成，每个小正方形边长为1/3n（n≥0）.称这种小正方形为Sn的基本正方形，记作□n.在每个□n上可以进一步生成一个与S相似比为1/3n的Sierpinski地毯.根据Hausdorff测度性质，有.我们在 S0上定义一个分布函数 μ，μ 满足是S0上的一个测度，限制S是其上的一个质量分布.另外有Un表示Un的直径（n≥0）.S0是S的一个覆盖.

以S0的一个顶点建立直角坐标系，如图2（a）.作S0的主对角线与斜对角线，对应的方程分别为x=y，x+y=1.设直线G平行于S0的斜对角线且与