林燕

摘要：本文通过分析类课程的具体实例，从四个方面探讨了如何在大学数学创新教学的实践过程中循序渐进地培养学生的数学思维能力。关键词：数学思维；分析类课程；创新教学中图分类号：O13

文献标志码：A

文章编号：1674-9324（2018）20-0200-02 创新教学的目的是培养学生的创新思想和创新能力。大学数学创新教学的根本内涵是锻炼学生的思维能力。大学本科数学专业分析类的相关课程，如数学分析、实变函数、泛函分析等，具有高度的抽象性、严密的逻辑性等特点，一直以来都是学生学习的“重灾区”。在创新教学的实践过程中，通过教学模式和教学方法的革新，帮助学生克服困难，是任课教师的首要任务。数学思维的培养是克服这些困难的重要途径，只有培养好学生的数学思维能力，从根本上改变传统的形象的认知方式，使学生从数学最根本的角度去思考问题，用数学语言严谨地表达问题，才能真正学好这些课程。作为一名分析类课程的主讲教师，如何在具体的教学过程中培养学生的数学思维能力，这是引导学生掌握学科特点，学好相关课程，增强创新能力的关键所在。一、加深对基本概念的理解要想从数学的角度去思考问题，首先需要有牢固的数学基础，这就是对基本概念的掌握。数学中的基本概念是所有问题的基础和出发点，基本概念掌握得是否牢固，理解得是否深刻，直接影响对知识点的运用。1.深入剖析定义的本质含义。分析学中第一个难以理解的概念就是极限定义。如何用静态的ε-δ语言去刻画动态的函数极限■f（x）=A，这是上课讲授的重点和难点。首先需要明确，在ε-δ语言的四句描述[1]“？坌ε>0，？埚δ>0，当0<|x-x■|<δ时，|f（x）-A|<ε”中，第一和第四两句是用来刻画函数值变化趋势的，用“|f（x）-A|<ε”来体现f（x）与A无限接近的程度。从这个角度来看，虽然写的是“？坌ε>0”，实际上越小的ε对极限越有贡献。在学习定义的过程中把这点理解到位了，后面讲例题中涉及到用定义证明极限的时候，为了证明的需要有些地方会直接设“0<ε<1”，学生理解起来就不会觉得突兀了。第二和第三两句是用来刻画自变量变化趋势的，用“|x-x■|<δ”来体现x与x■无限接近的程度，从这个角度来看越小的δ越能体现x趋于x■。在学习定义的过程中把这点理解到位了，后面涉及极限定义证明的时候，δ取小的技巧就变得理所当然了。“0<|x-x■|”是一个往往容易忽视的条件，这里出现问题说明对函数极限的本质没有把握好。函数极限考察的是x无限接近x■时函数值f（x）的变化趋势，是一个动态的过程，这与函数在x■点的行为无关，所以极限定义中并不要求x=x■。这个条件需要强调清楚，才能把函数极限的ε-δ语言和连续函数的ε-δ语言区别开来。2.从正反两方面进行探讨。数学中的很多问题，我们不仅要了解满足条件的那些对象，也需要了解不满足条件的那些对象。在教学过程中，不断引导学生思考命题和它的否定命题，探讨概念和它的否定形式，可以进一步加深对概念的理解。例如数集S有界，是指[1]？埚M>0，？坌x∈S，有|x|≤M。反过来，数集S无界就应该表达为？坌M>0，？埚x■∈S，使|x■|>M。另外，分析学中的一些概念本身就是用否定形式给出的，这其中最具代表性的就是“几乎处处”的概念。命题π在集合E上几乎处处成立，其本质是指在集合E中命题π不成立的点所组成的集合是一个零测度集。学生在学习定义的时候把这点理解到位了，以后涉及“几乎处处”的问题，出发点就应该是去寻找命题成立的反面，也就是命题不成立的点集。 3.加强对等价定义的掌握。等价定义实现了从不同的数学角度对同一个知识点的刻画，熟练掌握基本概念的等价定义，可以帮助学生从宏观的角度加深对基本概念的理解，提高运用知识点的灵活性。例如“稠密”的概念[2，3]，X的子集E在X中稠密，既可以定义为？坌x∈X，？坌ε>0，？埚y∈E，使ρ（x，y）<ε，也可以定义为？坌x∈X，？埚{y■}？奂E，使y■→x。两者分别从ε语言和极限的角度对“稠密”进行了刻画，其本质是相同的。集合E是闭集[2，4]，既可以定义为E的聚点都在E中，也可以定义为E的界点都在E中，还可以定义为E=■（E的闭包）。学生在掌握闭集的等价定义的过程中，还可以加深对聚点与界点关系的理解。另外，选择合适的等价定义，也可以提高解决问题的效率，起到事半功倍的效果。二、探究知识点之间的联系从数学的角度去思考问题，就是把你的考察对象抽象成数学对象，然后运用各种数学知识点作为工具去研究它。这就需要掌握好各个知识点之间的联系，建立起一个知识点之间的关系网。很多同学感觉在做题解决问题的时候没有思路，无从下手，其主要原因就是对知识点的把握是孤立的，零散的，没有建立起彼此之间的联系。正确的学习方法应该是：每学习一个新的知识点，就自发去思考和前面所学的知识点之间的联系，主动去建立这种相关性的思维，不断丰富知识点之间的关系网。例如学习了内点、界点、外点、聚点和孤立点的概念[2，4]之后，就应该去探究它们彼此之间的关系。孤立点一定是界点，内点和非孤立点的界点是聚点，既不是聚点又不是孤立点则必为外点。这些相互关系的探讨可以帮助学生加深对这五类点的理解。再画图结合具体的集合的实例，可以帮助学生掌握好这些抽象的概念。三、强化数学语言的表达强化数学语言的表达，是培养学生数学思维的重要途径。有的学生对上课教授的内容能理解清楚，但是做作业的时候自己的意思表达不出来，或者写出来的东西条理不清，逻辑混乱，这些都是在数学语言的表达上有所欠缺。数学语言的精炼与高度概括的特点，可以帮助学生从纷繁芜杂的现象中直击问题的核心。用数学的语言去描述问题，更有利于从数学的角度去思考问题。在教学过程中应该不断强化数学语言的表达，引导学生实现文字表达与数学表达的自由转换，这种转换实际上就是数学思维的建立。例如集合语言就是实变函数中的常用表达方式。函数f在x■点连续，可以表达为？坌ε>0，？埚δ>0，使f（（x■-δ，x■+δ））？奂（f（x■）-ε，f（x■）+ε）。点P是集合E的聚点，文字表达为：在P的任意领域中，至少含有一个属于E而异于P的点。可以简单地用数学表达为：？坌ε>0，U■（P；ε）∩E≠？准。函数f在[a，b]上有上界M，可以表达为[a，b]？奂{x：f（x）≤M}。四、创建数学思维的环境创造数学思维的环境，是培养学生数学思维不可或缺的重要条件。老师的言传身教往往能起到“润物细无声”的作用。教师除了教授知识，更应该注重对学生学习方法的培养。在教学过程中，可以不断强化数学语言的表达，数学符号的使用，逻辑性的训练等。不断引导学生从数学的角度思考问题解决问题，从课堂知识引申到实际问题，可以提高学生对数学的兴趣，这对学生数学思维的培养非常有利。另外也可以采取学习兴趣小组的模式，引导学生学习和讨论一些课外读物。让学生从“听”的角度转换到“讲”的角度，再辅以老师提问作引导，更有利于学生从数学的角度去思考问题，提高学生数学语言的表达能力。综上可见，教师在大学数学创新教学的实践活动中，结合学科的特点，可以从加深对基本概念的理解、探究知识点之间的联系、强化数学语言的表达、创建数学思维的环境这四个方面入手，循序渐进地培养学生的数学思维能力，触类旁通地为其他学科的学习提供有利的条件。参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]張恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社，2001.[4]周民强.实变函数论（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2003.