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“三量法则”及在列方程中的应用

2018-07-24江为德

考试周刊 2018年64期
关键词:帮助列方程应用题

摘 要:许多学生对应用题感到害怕,实质是苦于找不到题中所蕴含的等量关系。具有三个量的类型的应用题,可根据“三量法则”提供的线索去设元和列方程。“三量法则”是“知一量,设一量,列得方程用第三量。”它不仅能为设元和列方程指明方向,而且能让学生彻底理解何时该直接设元,何时该间接设元;对某些较难的应用题的解答大有帮助。

关键词:三量法则;应用题;设元;列方程;指明方向;帮助

许多学生对应用题感到害怕,实质是苦于找不到题中所蕴含的等量关系;即使通过抓关键句、关键词、关键字,通过画线段图,画示意图等也不能快速找到等量关系。基于此,本文介绍一个我自己在教学过程中总结的“三量法则”,本人认为它不仅能为设元和列方程指明方向,而且能让学生彻底理解何时该直接设元,何时该间接设元;对某些较难的应用题的解答大有帮助。

一、 “三量法则”的意义

应用题的类型很多,有些应用题比较容易列方程,如劳力调配问题,和、差、倍、分问题等,等量关系题中给的比较明显;而有些复杂的行程问题或者是工程问题等,等量关系题目给的不直接,或是不容易找到。怎么办呢?别怕!“三量法则”能给你方向指引!

我们知道:行程问题主要涉及路程、速度和时间这三个量;工程问题主要涉及工作总量、工作效率和工作时间这三个量;像这种具有三个量的类型的应用题,我们可根据“三量法则”提供的线索去设元和列方程。

“三量法则”是:知一量,设一量,列得方程用第三量。

二、 例说“三量法则”的应用

下面我们通过《新课标人教版〈数学〉七年级(上册)》(2012年6月第一版2014年6月第一次印刷)第99页习题3.3的两道题,给大家举例说明“三量法则”的应用。

(一) 例题讲解

例1 (第99页习题3.3第10题)王力骑自行车从A地到B地,陈平骑自行车从B地到A地,两人都沿同一公路匀速前进。已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12点,两人又相距36千米。求A、B两地间的路程。

1. 分析解释:

在这个问题中,通过审题可知:

(1)时间是已知量,上午8时骑到上午10时,然后继续骑到中午12点;从出发到上午10时骑行所用时间为:10-8=2(小时),从出发到上午12时骑行所用时间为:12-8=4(小时)——知时间。

(2)要求A、B两地间的路程,如果直接设元,那么我们设A、B两地间的路程为x千米——设路程。

(3)这样,我们知时间,设路程,所以应该用速度关系来列方程。这就是:知一量(时间),设一量(路程),列得方程用第三量(速度)。

(4)根据“匀速前进”可知两人的速度不变,因此两人的速度和不变!利用“速度和=两人前进的路程和时间”分别表示两次骑行的速度和可列得方程。

(5)解法一:设A、B两地间的路程为x千米,

依题意,得:x-3610-8=x+3612-8

(列方程就是用两种不同的方式表示同一个量)

解得:x=108。

答:A、B两地间的路程为108千米。

(6)如果我们间接设元,设这两人的速度和为y千米/时,

①知一量(时间),设一量(速度),列得方程用第三量(路程)。

②而路程有何等量关系?A、B两地的路程不变!利用“路程和=两人前进的速度和×时间”分别表示A、B两地的路程可列得方程。

③解法二:设甲乙两人的速度和为y千米/时,

依题意得:(10-8)y+36=(12-8)y-36

解得:y=36

∴(10-8)y+36=2×36+36=108(千米)

答:A、B两地间的路程为108千米。

(7)说明:在上述的两种解法中,我们惊喜地发现:“三量法则”清晰地为我们指明了设元和列方程的方向,在分析清楚知道的量之后,另外两个量中,任意一个用来设元,而最后一个量就用来列方程。多妙的事呀!

(二) 巩固练习:请同学们先试着解答(习题3.3第99页第9题)

有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50m2墙面未来得及刷;同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外,还多刷了另外的40m2的墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面,求每个房间需要粉刷的墙面面积。

1. 分析解释:通过审题我们知道:本题可以看成工程问题,房间的面积属于工作量,每名技工一天粉刷的面积为工作效率,工作时间都是一天。

(1)工作时间是已知量,都是一天时间。

①如果我们设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2,那么由“三量法则”,知时间,设工作量,列效率。

②如果我们设每名二级技工每天粉刷的墙面面积为y m2,那么由“三量法则”,知时间,设效率,列工作量。

(2)这样,我们也有以下两种列方程的思路。

①解法一:(直接设元),设每个房间需要粉刷的面积是xm2,

依题意,得:8x-503=10x+405+10

②解法二:(间接设元)设每名二级技工每天粉刷墙面y m2,則每名一级技工每天粉刷墙面(y+10)m2,

依题意,得:3(y+10)+508=5y-4010

三、 小结提升

1. “三量法则”:知一量,设一量;列得方程第三量。

2. “三量法则”能为设元、列方程指明方向。

3. 友情提示:列方程就是用两种不同的方式表示同一个量。

作者简介:江为德,男,1985年8月毕业于南平师专,1993年6月函授毕业于福建师范大学,现为中学数学高级教师,喜欢总结,在cn刊物上发表多篇论文,或有多篇论文获省地市奖。本文是1994年任教于沿山中学时所总结的法则,现在想来还是值得书写,另外2012年11月参加福建省第二届中小学教师技能大赛获三等奖,2005年被评为福建省中小学优秀班主任,2018年3月参加邵武市说题比赛获一等奖……

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