汪 璇, 韩 英, 胡弟弟

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

在边界充分光滑的有界域Ω⊂3中, 考虑如下记忆型抽象发展方程：

(1)

其中:α>0;A=-Δ;θ∈(1,3/2);ε(t)∈C1()是单调递减的正函数, 满足

(2)

且存在常数L>0, 使得

(3)

设记忆核函数k′(s)<0, ∀s∈+,k(∞)=1, 且μ(s)=-k′(s), 满足:

其中k0,δ为正常数. 显然当s→+∞时,μ(s)→0. 非线性项g∈C1(),g(0)=0, 且满足:

(9)

针对ε(t)为关于t的函数情形, 通常的动力系统理论已不再适用于方程(1)解的渐近性态研究. 在此情形下, 文献[11-12]通过修正拉回吸引子的经典定义和理论, 建立了研究时间依赖动力系统的思想框架. 得到了很多时间依赖吸引子的成果. 当非线性项满足次临界指数增长条件时, Conti等[12]应用改进的拉回吸引子理论, 证明了线性波方程的时间依赖吸引子的存在性和正则性; 文献[1]进一步研究了同一个方程的时间依赖吸引子的渐近结构; 文献[13]得到了记忆型无阻尼抽象发展方程时间依赖吸引子的存在性和正则性结果. 当非线性项满足临界指数增长条件时, 文献[2]和文献[14]分别得到了关于Plate方程和非经典反应扩散方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性结果. 受文献[11-13]启发, 本文研究方程(1)解的渐近性. 用先验估计和算子分解技巧, 并结合修正的拉回吸引子理论, 得到了时间依赖吸引子的存在性和正则性结果. 为方便估计, 本文中的C和Ci均表示正常数.

1 预备知识

设H=L2(Ω), (Au,v)=b(u,v), ∀u,v∈H, 其中b(u,v)为H上的双线性型, 且是对称的、强制的.A为H上的线性无界自伴算子, 其定义域D(A)⊂H. 设{λj}j∈和{ωj}分别为A的特征值和特征向量, 因此{ωj}可构成H的一组正交基, 且有

利用这组基定义与A同构的幂算子族Aθ(θ∈(1,3/2))如下:

为便于估计, 令Vθ=D(Aθ/2), 则V0=H=L2(Ω), V-θ=D(A-θ/2), 分别赋予空间H和Vθ相应的内积与范数:

∀u,v∈H;

则空间Vθ构成Hilbert空间族. 并且Vθ作为H的子集在H中稠密, 映射: Vθ→H紧. 由A的无界自伴性知, Aθ也为无界自伴算子, 且对∀s,r∈, 算子Ar为从D(As)到D(As-r)上的同构映射. 因此, 当θ1>θ2时, 有紧嵌入Vθ1Vθ2, 并且有连续嵌入

(10)

以及Poincaré不等式

∀v∈Vθ.

(11)

定义变量ηt(s)=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s). 则方程(1)可转化为如下形式:

(12)

相应初-边值条件为

(13)

引理2[5,16]假设μ(s)∈C1(+)∩L1(+)是一个非负函数, 且满足条件: 如果存在s0∈+, 使得μ(s0)=0, 则对所有的s≥s0, 有μ(s)=0. 进一步, 设B0,B1,B2是Banach空间,B0,B1是自反的, 且满足B0B1B2, 其中嵌入B0B1是紧的. 设C⊂+;B1)满足:

定义1设{Xt}是一个赋范空间, 双参数算子族{U(t,τ):Xτ→Xt,t≥τ,τ∈}满足如下性质:

1) 对任意的τ∈,U(τ,τ)=Id是Xτ上的恒等算子;

2) 对任意的σ∈和任意的t≥τ≥σ,U(t,τ)U(τ,σ)=U(t,σ).

则称U(t,τ)是一个过程.

定义2如果对每个t∈, 均存在一个常数R>0, 使得Ct⊂{z∈Xt: ‖z‖Xt≤R}=Bt(R), ∀t∈. 则称有界集Ct⊂Xt的集合族C={Ct}t∈是一致有界的.

定义3如果集合族B={Bt}t∈一致有界, 且对任意的R>0, 均存在常数t0(t,R)≤t, 使得τ≤t0⟹U(t,τ)Bτ(R)⊂Bt, 则称B是拉回吸收的.

定义4如果对任意的R>0, 存在常数t0(t,R)≤t, 使得τ≤t-t0⟹U(t,τ)Bτ(R)⊂Bt, 则称一致有界集族B={Bt}t∈是过程U(t,τ)的时间依赖吸收集.

时间依赖吸收集的存在性即相应过程的耗散性.

定义5过程U(t,τ) 的时间依赖吸引子是满足如下性质的最小族A={At}t∈:

1) 每个At在Xt是紧的;

2) A是拉回吸引的, 即对每个一致有界族C={Ct}t∈, 极限成立, 其中表示集合B和C的Hausdorff半距离.

定理1[12]过程U(t,τ)是渐近紧的, 即集合

K={K={Kt}t∈:Kt⊂Xt是紧的, K是拉回吸引的}

是非空的, 则时间依赖吸引子A存在且唯一.

定义6如果∀t≥τ,U(t,τ)Aτ=At, 则称时间依赖吸引子A={At}t∈是不变的.

2 主要结果

2.1 适定性

首先, 关于问题(12)-(13)的弱解定义如下:

成立, 则称z(t)为方程(12)在区间I上满足初值条件z(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s))∈Hτ的弱解.

应用Galerkin方法[5], 可得方程(12)-(13)解的存在唯一性结果:

定理2假设条件(2)～(6)成立, 且g∈C(Vθ;H)满足式(7)～(9),f∈V-θ, 则对于任意给定的T>τ和初值z(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s)), 方程(12)-(13)存在唯一弱解z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 满足z(t)∈C([τ,T];Ht)∩L∞([τ,T];Ht).

根据定理2, 可以定义如下过程U(t,τ): Hτ→Ht, 即U(t,τ)z(τ)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 其中z(τ)∈Hτ,z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s))是方程(12)-(13)关于初值z(τ)的唯一解.

2.2 时间依赖吸收集

引理3在定理3的假设条件下, 设U(t,τ)z(τ)是方程(12)的解, 则存在正常数C2=C2(R), 使得

‖U(t,τ)z(τ)‖Ht≤C2, ∀t≥τ.

(14)

证明: 设0<ρ<1, 用2ut+2ρu与方程(12)在H中做内积, 有

关于阻尼项, 有

〈αut,2ut+2ρu〉=2α‖ut‖2+2ρα〈u,ut〉.

(16)

根据引理1、方程(12)及Young不等式, 可得

(17)

由式(15)～(18)可得

对合适的常数C>0, 定义泛函

根据Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(3)和式(11), 可得:

(21)

(22)

(23)

2〈G(u),1〉≥-(1-ν)‖u‖θ-C.

(24)

由式(20)～(24)可得

则

(25)

易知N(t)≥0.

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(3)和式(11), 得

(26)

对于式(19), 由式(20)和式(26), 并利用条件(9), 可得

(27)

取ρ足够小, 使得

(28)

定理3假设条件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 过程U(t,τ)(t≥τ∈)为问题(12)-(13)对应的过程, 对于给定初值zi(τ)∈Hτ, 满足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2), 则存在正常数C1=C1(R)>0, 使得

‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Ht≤eC1(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ∀t≥τ

(29)

成立.

证明: 对于给定的初值zi(τ), 根据引理3可知:

‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤R0.

(30)

(31)

(32)

当θ∈(1,3/2)时, 6/(3-2θ)≥6/θ, 应用式(10), 并结合条件(7)和式(30), 有

将式(33)代入式(32), 有

在区间[τ,T]上应用Gronwall引理, 可得式(29)成立.

记 Bt(R)={z(t)∈Ht: ‖z(t)‖Ht≤R}, 由引理3直接可得如下时间依赖吸收集的存在性定理:

定理4假设条件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 则对应于问题(12)-(13)的过程U(t,τ)存在时间依赖吸收集B={Bt(R0)}.

2.3 时间依赖全局吸引子的存在性

若式(7),(8)成立, 将非线性项g分解为g=g0+g1, 其中g0,g1∈C2(), 且存在正常数k0,k1, 满足:

‖f-f‖<.

(38)

设B={Bt(R0)}t∈是由定理4所得的一个时间依赖吸收集, 且τ∈固定, 则对任意的z(τ)∈Bτ(R0), 可以将过程U(t,τ)分解为U(t,τ)z(τ)=U0(t,τ)z(τ)+U1(t,τ)z(τ), 其中：

z1(t)=U0(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));z2(t)=U1(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)).

分别满足

(39)

(40)

利用Faedo-Galerkin逼近方法, 易得方程(39),(40)解的存在唯一性, 进一步可得如下耗散性结果.

引理4若条件(3)～(9)和条件(34)～(36)成立, 则存在常数C3>0及任意小的正常数与单调递增函数Q(·), 使得

‖U0(t,τ)z(τ)‖Ht≤Ce-C3(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+, ∀t≥τ.

(41)

证明: 设0<ρ<1, 用2vt+2ρv与方程(39)在H中做内积, 有

对合适的常数C>0, 定义泛函

根据Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(3)得

类似可得

(44)

将式(43)代入式(42), 且由式(38), 可得

(45)

引理5若条件(3)～(9) 和条件(34)～(37)成立, 则存在C4=C4(B)>0, 使得

(46)

其中0<σ≤min{3θ-3,3/2-θ,1}.

证明: 设0<ρ<1, 用2Aσwt+2ρAσw与方程(40)在H中做内积, 类似于引理3的证明有

对合适的常数C>0,

根据Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(3)和式(11), 可得

因为2×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 应用嵌入不等式(10), 再由式(45)和式(7), 可得

类似可得

(49)

因为2×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 由条件(7)和嵌入不等式(10), 可得

(50)

(51)

设B是定理3中得到的一个时间依赖吸收集, 可得如下结论:

引理6[10]假设非线性项g满足条件(7),(8), 外力项f∈V-θ, 且条件(4)和(6)成立, 对任意给定的T>τ和任意的>0, 令KT=ΠU1(T,τ)B, 则存在一个正常数N1=N1(‖B‖Ht), 使得:

引理7若条件(4)～(7)和条件(34)～(37)成立, 令{U1(t,τ)}t≥τ是方程(40)的解过程, 则对任意的T>τ,U1(t,τ)B在Ht中是相对紧的.

由定理1、定理4、引理4, 引理5和引理7可得到如下结果:

定理5方程(12)-(13)生成的过程U(t,τ)在Ht中有一个不变的时间依赖全局吸引子A={At}t∈.

因此, 过程U(t,τ)是渐近紧的, 从而证明了U(t,τ)存在时间依赖全局吸引子A={At}t∈. 最后, 由文献[12]中的定理5.6和过程U(t,τ)t≥τ的连续性, 可得A的不变性.

2.4 时间依赖吸引子的正则性

在K中, 对所有的t∈, A的最小性即保证了At⊂为了证明At在上的有界性类似于引理5的证明, 固定τ∈, 对zτ∈At, 将U(t,τ)z(τ)分解为

U(t,τ)z(τ)=U3(t,τ)z(τ)+U4(t,τ)z(τ),

其中:U3(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));U4(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)). 分别满足

(52)

(53)

作为引理4的一个特例, 可得

‖U3(t,τ)zτ‖Ht≤Ce-C(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+ε, ∀t≥τ.

(54)

引理8在定理3的假设条件下, 存在常数C5=C5(A )>0, 使得一致有界集

对合适的常数C>0,

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(3)和式(11), 得

类似可得

(56)

取ρ足够小, 则

(57)

定理6在K中, 对所有的t∈,At在上是有界的, 且与t无关.