蒋　迅

谈到不等式，有两个著名的不等式是我们都非常熟悉的：一个是算术平均-几何平均不等式，另一个是柯西-施瓦茨不等式．给定2n个实数a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn我们分别有：

和

≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

如果用求和符号∑和求积符号∏来表达的话，那么它们分别可以写成：

和

这两个不等式都有一个共性，那就是在求和以及求积时每个单项具有循环性．所以我们可以用∑和∏来简化．我们还可以用另一种方式来表达， 即明确地指出求和是对每一个单项循环求和，求积是循环对每一个单项求积．

f(a1,a2,…,an)+f(a2,a3,a4,…,an,a1)+…+f(an,a1,a2,…,an-1).

f(a1,a2,…,an)·f(a2,a3,a4,…,an,a1)·…·f(an,a1,a2,…,an-1).

其中“cyc” 是英文“cyclic”的缩写，意为“循环的”．

按照这个定义，算术平均-几何平均不等式和柯西-施瓦茨不等式也可以记作：

和

甚至可以简化成

和

引入循环和及循环积的概念后，我们可以讨论更为广泛的不等式．这类不等式表达简洁，而且在奥数竞赛中经常出现．让我们来看几个例子．限于篇幅，我们只考虑n=3的情形，并给定三个实数a,b和c．我们将限制到上述两个经典不等式的应用上，顺便介绍一些国外的数学竞赛和网站．下面所有的例子均取自Alexander Bogomolny博士建立的网站https://www.cut-the-knot.org. 这个网站内容及其丰富，特向数学爱好者和数学老师强烈推荐．

例1[1](2017年加拿大奥数)设a,b和c非负并两两不同．则

证明注意循环性质，我们可以假定a>b>c.令x=a-b,y=b-c，则x>0,y>0. 由算术平均-几何平均不等式，我们有

例2[2](罗马尼亚数学杂志) 设a,b,c>0. 则

证明这个不等式可以用循环不等式来表示．让我们用这种表达形式来给予证明．事实上，由算术平均-几何平均不等式，我们有

例3[3](1967年国际奥数备……