王芝平

(北京宏志中学　100013)

函数导数及其应用是高中数学的重要内容，是学习高等数学的重要基础知识．它覆盖面广、综合性强，极易与其它知识建立联系，通过相互渗透和交融形成新颖靓丽、解法灵活的试题，从而有效全面地考查学生的数学核心素养．

当含有参数的不等式恒成立时，求其参数的取值范围是一类较为复杂的数学综合问题．一个基本的想法就是将其上升为含有参数的函数问题，借助函数的导数研究该函数的单调性，在此基础上通过确定函数极(最)值点予以解决．在这个过程中若能恰当、灵活地运用充分条件与必要条件的逻辑关系将会使问题的解决有效简化．

例1(2010高考年国标卷理科第21题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2．

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．

这是试卷中必作题目的最后一题，由文献[1]知，该题难度为0.317，属于较难的试题．

利用导数方法研究函数的单调性是学习导数这部分内容的基本要求．数学课标教材涉及到了与函数相关的不等式的证明问题，如人教A版选修2-2第32页B组第一题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：(1)sinx0，x∈(0，1)；(3)ex≥1+x(x≠0)；(4)lnx0．这些问题的解决一般需要通过变形转化为研究函数的最值来处理．

例1可以认为是上述第(3)小题的变式拓展，表现在对函数表达式的设计上，其中第(Ⅰ)问既考查学生对函数单调性与导数关系的理解，又为问题(Ⅱ)的解决做了铺垫；另一方面在运算过程中，考查学生对基本初等函数的……