黄兆麟

(天津水运高级技工学校 300456)

在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有

(1′)

(2′)

(3′)

本刊文[1]给出了以上三个三角形不等式不同风格的证明,但不宜指数推广,本文则给出这三个不等式指数推广的证明,方法异于文[1].首先将不等式(1′)及(2′)统一推广为：

定理1在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则当指数k≥1,有

≥akcosA+bkcosB+ckcosC

(Ⅰ)

证明首先分两部分证明不等式链(Ⅰ)中第一个不等式.

①当k=1时,不等式链(Ⅰ)中第一个不等式即为不等式(2′),而由正弦定理知不等式(2′)又可等价为如下不等式(1),

(1)

设此时不等式(1)左右之差为M1,则

-sin (B+C)-sin (C+A)-sin (A+B)

-(sinBcosC+cosBsinC)-(sinCcosA

+cosCsinA)-(sinAcosB+cosAsinB)

显然以上最后一式的三个单项均为非负项,故有2M1≥0,即不等式(1)成立,

从而不等式(2′)成立,也就是当k=1时不等式链(Ⅰ)中第一个不等式成立.

②当k>1时,由不等式链(Ⅰ)中第一个不等式的完全对称性,不妨设A≥B≥C,则有

又记此时不等式链(Ⅰ)中第一个不等式左右之差为M,那么

即当k>1时不等式链(Ⅰ)中第一个不等式也成立.

以上证明最后一步用到了不等式(2′)成立的结论.

综上①与②知当k≥1时不等式链(Ⅰ)中第一个不等式成立.

由以上证明过程可看出,不等式(2′)强于不等式(1′).

下面再证明不等式链(Ⅰ)中第二个不等式：

由不等式链(Ⅰ)中第二个不等式的完全对称性,不妨设A≥B≥C,则有

又记此时不等式链(Ⅰ)中第二个不等式左右之差为M2,那么

即当指数k≥1时不等式链(Ⅰ)中第二个不等式也成立.

以上证明最后一步用到了熟知的不等式

至此定理1全部获证.

顺便指出,由以上证明过程不难看出,对于不等式链(Ⅰ)中的第二个不等式,指数可放宽为正数.

下面再将不等式(3′)指数推广为：……