陆长蓁

(江苏省扬州市邗江区美琪学校　225100)

一、代数最值解法举例

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：

(1)运用配方法求最值；

(2)构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；

(3)建立函数模型求最值；

(4)利用基本不等式或不等分析法求最值.

1.利用判别式

例1已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD的面积最小值.

分析与解答如图1，过A、C作BD的垂线，垂足为F、E，设AF=h1，CE=h2,BD=a,OD=x,则OB=a-x.由已知条件得：

又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+13.

于是求四边形ABCD面积最小值问题转化为求S=S△BOC+S△AOD最小值问题.

(13+S)x2-(18-S)ax+9a2=0(3)

若方程(3)有实数根，必须有

Δ=a2(18+S)2-36a2(13+S)=a2S2-144≥0.

而a>0,从而a2>0，于是必须S2-144≥0，因为S>0，所以最小值S=12.从而S四边形ABCD最小值为25.

2.运用函数思想

例2如图2，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当P在何位置时，△ADQ的面积最小？并求出这个最小值.

分析与解答根据作图实验可知，随着P点在BC上运动，Q点将在BC上运动，但在运动过程中△ABP与△PCQ始终相似，因此可利用相似三角形的性质表示出△ADQ的面积与BP之间的函数关系式，从而可进一步求解.

由二次函数得性质可知，当x=2时，y有最小值，最小值是6.即当P点在BC的中点时，△ADQ的面积最小，最小面积是6.

3.利用整数的奇偶性

例3一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有……