朱娅梅



义务教育阶段学生数学建模能力评价框架和行为测评指标

朱娅梅

（华东师范大学 考试与评价研究院，上海 200062）

2011年颁布的《义务教育数学课程标准》出现了模型思想，模型思想是数学素养的十大核心词汇之一．在文献分析的基础上建立义务教育阶段数学建模能力评价框架和行为测评指标，该测评体系为义务教育阶段学生数学建模能力的培养和评价提供了具体参考．

数学建模；评价框架；数学化；测评指标

数学建模活动是一个强调学生数学创造力与问题解决能力的活动，透过这样的活动，学生们可以发展出适用于隐藏在生活中的数学概念和其它一些可以进一步被应用的基础概念．在建模活动中，学生被要求以数学的观点来解释并解决一个实际生活中所发生的复杂情境，最后学生必须形成一套关于数学的描述、数学的程序或数学的方法和工具，然后在现实生活中运用这个方法来解决问题[1]．形象地说，数学建模活动可以让学生体会如何通过数学的“眼睛”来观察和认识现实世界中的一些事情，并且利用数学的“语言”来描述和分析这些事情[2]．因此，数学建模对于学生的发展非常重要，进入2l世纪，各国与各地区启动的数学课程改革都将学生数学建模思想的形成以及数学建模能力的培养作为数学教育的重要目标．

1 数学建模能力的内涵

正如对问题解决的研究经历了认知过程观、知识结构观以及二者的结合，数学建模的研究也有两个取向：认知过程观及知识结构观，充分体现了从宏观（重视过程、阶段和系统结构）到微观（重视具体知识的作用）的整合[3]．

数学建模是现实到数学的映射求解过程．如果将整个世界划分为现实世界和数学世界的话，那么数学建模将现实与数学打通并联系，建模就是联结数学的“两张脸”（two faces），即现实的数学和抽象形式的数学[4]．把数学之外领域选择出来的实体，包括问题，映射（或翻译）到数学领域里，通过数学方式寻找答案，并将数学领域的答案翻译到数学之外的领域，然后解释和评估这些答案是否适合开始提出的数学之外领域的问题．这种从数学之外领域开始，移动到数学领域寻求答案，获得数学的结论并翻译回到数学之外领域的过程叫做数学建模[5]．针对这个过程，研究者提出了各种经典的数学建模循环——七阶段循环（Blum& Niss，1996[6]）、四阶段循环（CCSSM，2010[7]）和三阶段循环（PISA，2012[8]），均涵盖了数学化（表述为数学形式）、数学求解、阐释和转译3个关键环节，均强调数学建模起始于没有“编辑”的现实世界，要求在问题解决之前进行数学表述，而且一旦问题获得解决，还要回到现实世界考虑初始情境中的答案[9]．

数学建模体现了现实世界蕴涵独特的数学规律和模式，揭示出潜藏在千变万化的实例中内在统一的数学结构．为此，研究者提出“基本思想”（Blum W，1998[10]）、“直观意义”（Fischbein，1987[11]）、“工具意义”（Usiskin，1991[12]）和“内在意义”（Noss，1994[13]）用以强调在数学建模过程中，数学与现实之间的转换需要那些承载数学概念和数学方法的基本思想来帮助学生更好地理解数学和现实之间的关系，如减法被看作是拿掉、补充和比较，除法被看作是分割或分配，分数被看作是整体的一部分、运算符或者比率，方程将未知量当作已知量进入计算并通过等号两边“算两次”求取未知量，函数反映两个变量相互依赖的变化规律．当初中生为现实世界和数学中的现象建模并解决问题时，他们学习用变量表征未知量，也学会用方程、表和图像来表征和分析关系．通过分析不同情境，包括物理和社会情境中的基本元素，并设计能表示元素间数学关系的表征，高中生能够为范围更广泛的现象建模并分析这些现象[14]．

综上分析，数学建模，目的是利用形式化的数学模型去反映（模写、刻划、表征）现实系统中的关系结构（关系—映射），然后利用通过对模型的逻辑分析演绎得出的结论，把它反演（翻译）回去解答现实原型中的某些问题（反演）[15]．其中的数学模型是一个包含元素、关系、操作和相互作用的法则，并用符号系统表示的数学概念系统，这个概念系统被用来建构，描述，或解释现实系统的行为，以便能操作或预测它们[16]．数学建模能力就是这种将现实问题表述为数学形式，并使用数学求解，将数学结果转译为现实结果并检验的能力．

2 数学建模能力评价框架的构建

近40年来，许多学者提出了各种数学建模能力评价框架，这些框架多涉及现实情境、数学内容、建模过程、建模水平4个要素．例如，Jesen[17]（2007）构建了一个3个维度的建模能力评价框架，一个人建模能力的水平可以被3个方面决定：覆盖率（个体所能进行的建模子过程）、活动范围（个体能进行建模活动的现实情境范围和数学内容范围）和技术水平（个体所能运用的数学技术与概念的高级程度）．PISA 2012[18]以数学建模活动作为评价学生数学素养的框架，将数学建模能力分析为以下3个方面：（1）过程：描述个体将数学与情境联系从而解决问题的过程，以及这个过程中所用到的数学能力；（2）内容：测评试题所用到的数学内容，分为4个类别；（3）背景：测评试题设置的情境，也分为4个类别．

在理论分析和文献分析的基础上，建构了包含4个要素的义务教育阶段数学建模能力评价框架（图1）．义务教育阶段学生数学建模能力评价框架即评价学生在真实问题情境中，运用数学建立模型解决问题的能力，包括4个维度：（1）学生将要面对数学挑战的4类情境（个人生活、社会生活、职业生活、科学情境）；（2）蕴含在4类数学情境下的数学知识的4个内容类别（数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践）；（3）学生将现实与数学联系，即进行数学建模活动的过程（数学化、数学求解、解释和转译、检验）；（4）学生进行建模活动的水平（再现、联系、反思）．

图1 义务教育阶段学生数学建模能力评价框架

一方面从整体上看，4个关键环节串联了数学建模的完整过程：数学化，数学求解，解释和转译，检验．数学化，即将现实情境中的本质元素表示为变量，通过创造和选择能够描述变量之间关系的几何的、图示的、表格的、代数的或统计的表征形式，系统地阐述内含的数学结构．数学求解，即使用数学求解模型的过程，应用数学推理、使用数学概念、程序、事实和工具推导数学结果．这个过程包括执行运算、操作代数表达式、方程和其它数学模型，分析数学图表里的数学形式的信息，开发数学描述和解释，并使用数学工具解决问题．解释和转译即阐释数学求解答案的过程，包括反思数学求解和答案，并在问题情境中转译它们．这个过程包括评估与问题背景相关的数学求解或推理，决定结果在情境中是否合理和有意义．检验，即在现实情境中检验答案是否正确．

另外一方面，现实情境、数学内容、建模水平均显示出测评的意义．数学内容和现实领域显示了一个人在建模过程中“数学工具箱”的体积和内容．一个能用函数关系方式对情境建模的人比那些仅能用方程“捆绑”变量的人更有能力，却比那些也能考虑微分方程的人能力更低．一个通常能进行几何方面建模的人在遇到离散数学或者统计建模时可能不是那么有能力．一个擅长在每天的购物情境中开发和使用最优模型的人，不保证在遇到设计问题时同样有能力．一个能对数学明显表露的现实情境建模的人，不保证在数学内容隐藏的情境中同样能顺利建模．因此，采用4个指标反映义务教育阶段学生的数学建模能力——情境范围、内容范围、建模过程、建模水平．一个学生所能建模的情境范围和所用的数学知识越广泛，在越高水平的建模任务上所能进行的建模过程越多，这个人的数学建模能力越强．

3 数学建模能力行为测评指标

在PISA 2012的数学测评框架中，把数学化的能力当做数学的一种基本能力，将建模能力主要成分的数学化能力——将现实转译为数学，根据调用的复杂程度划分为3个水平，以此来预测测试题的难度．德国新的教育标准[19]，也是按照数学化的复杂程度将数学建模能力划分为3个水平．参考以上数学建模能力水平划分方式，按照数学建模的关键环节——数学化的难易程度来划分数学建模能力水平．

再现：跳伞[20]

当跳伞时，飞机飞到4 000多米的高空．从那儿，跳伞员从飞机跳下，先自由降落将近3 000米．在1 000多米高的时候，跳伞员打开降落伞，滑翔到地面．当降落的时候，风会从水平角度吹着飞行员前行．求飞行员滑行的距离．

说明：飞行员滑行的距离是降落高度和水平距离构成的直角三角形的斜边，可以用勾股定理计算自由降落和滑翔两次斜边长之和，是标准模型的识别属于直接套用，属于再现水平．

联系：灯塔[21-22]

在欧洲不来梅港岸边有一座“Roter Sand”灯塔，建造于1884年，307米高，用来警告开始看见它的船已经靠近海岸了．船离海岸线多远时，海员将会第一次从地平线看到灯塔？

说明：船离海岸线的距离可以构建解圆与直角三角形的模型求得，灯塔、视线、船和灯塔距离构成直角三角形，同时这个直角三角形在地球这个圆的切线上，是迁移、组合标准模型解决问题，属于联系水平．

反思：流行病传播预测[23]

如图是HINI禽流感（2009）到达时间示意图，（到达时间以当地第一例病例确诊时间为准），试查阅相关数据建立一个数学模型，根据前21天到达地点和时间预测在50天内将到达的地点和时间，并以实际数据作为检验．

说明：该题是在复杂的现实情境中建模，情境中需要考虑各大城市的地理位置、几何距离、各大城市之间的航班、交通流量，等等．简单的线性回归模型和最小二乘法是不可以直接套用或者组合的，必须设计甚至创造表示有效距离的公式并根据实际数据进行计算，才能使用回归预测，因此是反思水平．

综合上述数学建模能力3个层次的分析，并参考上海市中小学数学课程标准的认知水平分类[24]，将数学建模能力从低到高分为再现、联系和反思3个水平，并给出具体的行为测评指标，如表1所示．

表1 数学建模能力水平行为测评指标

[1] 陈冠州，秦尔聪．数学建模活动对促进小学生数学素养之探讨——以五年级量测脚印活动的设计与实施为例[J]．台湾数学教师（电子）期刊，2010（23）：1-21．

[2] 史宁中．数学思想概论，第5辑，自然界中的数学模型[M]．长春：东北师范大学出版社，2015：1-16．

[3] 赵继源．高中生数学建模的基本心理过程及其影响因素[D]．北京：北京师范大学，2007：7-11．

[4] GREER B. Modelling reality in mathematics classrooms: the case of word problems [J]. Learning & Instruction, 1997, 7 (4): 293-307.

[5] NISS M. Models and modelling in mathematics education [J]. European Mathematical Society Newsletter, 2012 (86): 49-52.

[6] BLUM W, NISS M. Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects---- State, trends and issues in mathematics instruction [J]. Educational Studies in Mathematics, 1991, 22 (1): 37-68.

[7] Initiative C C S S. Common Core State Standards for Mathematics.[J]. Common Core State Standards Initiative, 2010, 4 (4): 148.

[8] OECD. PISA 2012 Mathematics Framework [EB/OL]. (2013-12-10) [2014-05-10]. www.oecd.org/dataoecd/8/38/ 46961598.pdf.

[9] The Consortium for Mathematics and Its Applications. mathematical modeling handbook [EB/OL]. (2014-03-11) [2014-05-12]. Available Online at www.comap.com.2012.

[10]   BLUM W. On the role of “Grundvorstellungen” for reality-related proofs–examples and reflections’ [M] // GALBRAITH P. Mathematical Modelling–Teaching and Assessment in a Technology-Rich World. Chichester: Horwood, 1998: 63-74.

[11]  FSISCHBEIN E. Intuition in science and mathematics: an educational approach [J]. Mathematical Gazette, 1987, 72 (462): 66-67.

[12]  USISKIN Z. Building mathematics curricula with applications and modeling [M] // NISS M, BLUM W, HUNTLEY I. Mathematical Modelling and Applications, 1991: 30-45.

[13]  NOSS R. Structure and ideology in the mathematics curriculum [J]. For the learning of mathematics, 1994, 14 (1): 2-10.

[14] 蔡金法．美国学校数学教育的原则和标准[M]．北京：人民教育出版社，2004：68-69．

[15] 徐利治．数学方法论选讲[M]．武汉：华中理工大学出版社，2000：24-26．

[16]  LESH R, DOERR H M. Foundations of a models and modeling perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving [M] // LESH R, DOERR H M. Beyond constructivism: models and modeling perspectives on mathematics problem dolving, learning and teaching. London: Lawrence Erlbaum Associatees, 2003: 3-34.

[17] JENSEN T H. Assessing mathematical modelling competency [C] // HAINES C, GALBRAITH P, BLUM W, et al. Mathematical Modelling (ICTMA12) Education, Engineering and Economics Chichester: Horwood, 2007: 141-148.

[18] OCDE. PISA 2012 Assessment and Analytical Framework [EB/OL]. (2013-12-11) [2014-05-12]. www.oecd.org/ dataoecd/8/38/46961598.pdf.

[19] 徐斌艳．关于德国数学教育标准中的数学能力模型[J]．课程·教材·教法，2007，27（9）：84-87．

[20] SCHUKAJLOW S. Treating multiple solutions in the classroom and their influence on students’ achievements and the affect-theoretical background and design of the quasi-empirical study [C]. The proceeding of the 12thinternational congress on mathematical education, Soeul, South Korea, 2012: 112.

[21] BLUM W, BORROMEO F R. Mathematical modelling: can it be taught and learnt [J]. Journal of Mathematical Modelling and Application, 2009, 1 (1): 45-48.

[22] GABRIELE K, CHRISTOPH L, VERENA R. Theoretical approaches and examples for modelling in mathematics education [M] // KAUR B, DINDYAL J. Mathematical applications and modelling yearbook 2010. Singapore: World Scientific Publishing, 2010: 219-246.

[23]  BROCKMANN D, HELBING D. The hidden geometry of complex, network-driven contagion phenomena [J]. Science, 2013, 342 (6 164): 1 337-1 342.

[24] 上海市教委．上海市中小学生数学课程标准（试行稿）[M]．上海：上海教育出版社，2004：30-31．

Assessment Framework of Mathematical Modeling Competence Over Compulsory Education Period

ZHU Ya-mei

(East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Based on the literature analysis, this paper establish Assessment framework of mathematical modeling competence over compulsory education period, namely the evaluation of students’ ability to use mathematical model to solve real problem, including four dimensions: 1) four kinds of situations (personal life, social life, occupation life, science situation); 2) mathematical knowledge (number and algebra, graph and geometry, probability and statistics, comprehensive and practical); 3) mathematical modeling process (Mathematics, mathematical, interpretation and translation, inspection); 4) the student modeling activity level (reproduction, connect, reflection).

mathematical modeling; assessment framework; mathematization; assessment indicators

2018–02–14

教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——义务教育阶段数学学科核心能力模型与测评框架研究（11JJD880027）

朱娅梅（1987—），女，云南大理人，华东师范大学考评院学科分析师，硕士，主要从事数学学业测评研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0093–04

朱娅梅．义务教育阶段学生数学建模能力评价框架和行为测评指标[J]．数学教育学报，2018，27（3）：93-96．

[责任编校：周学智]