王红兵



针对初中毕业阶段学生范希尔几何思维水平的调查及其分析

王红兵

（江苏省南京市教学研究室，江苏 南京 210001）

依托于南京市2017年中考的一道开放性试题，根据“范希尔几何思维水平”理论，首先，论证了该试题被用于评估的合理性，其次，将不同的解答方法与各思维层次匹配，同时，在评卷过程中采用了方法分进行辅助诊断，在此基础上，采用随机抽样，对374份答卷运用多种量化方法展开分析，探索了处在初中毕业阶段学生几何思维水平表现倾向的实然状态．结果表明，对处在初中毕业阶段的学生：几何思维倾向于且能正确地表现出层次2的最多；同一层次内的思维仍具备多样性，其多样化程度取决于该层次内认知结构的复杂程度，与层次的高低没有直接联系；思维水平在持续发展与进阶，但随着层次的增加，细节上的瑕疵也在增加；思维水平的表现倾向具有偶然性与不稳定性．

思维水平；几何思维；初中毕业；表现倾向

20世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇曾将几何思维划分为5个水平[1-2]，具体见表1．

表1 几何思维划分

该理论既可用于诊断学习者的几何思维水平也可以作为教学活动设计的依据，其中，前者是后者的前提．国际数学教育界采用该理论进行几何能力评估时的方式往往是针对每个水平设计出相应的试题，然后考查学习者是否能答对某个水平大于或等于五分之三的题目，从而判定其思维所处层次[3]．但这种方式却存在着两个局限：一是尽管单一化的试题情境具备了针对性但却人为限制了学习者的思维，使得既不能够以此了解群体的思维水平分布，也无法洞察个体思维的广阔程度；二是这样的评估过程涉及到试题与水平、解答与水平两次匹配，即使经过专家鉴定及多次认证，但因评价者的能力差异，仍会产生较大误差[4]．所以，为了规避上述两点，可以设置在情境[5]和知识上覆盖面较广且方法可能涉及多个思维层次的开放性试题并仅对解答进行水平匹配．这样，学习者就有机会综合运用自己的认知结构解决问题从而在此过程中表现出自然且完整的思维状况，继而所得的几何能力评估才是全面而真实的．另外，由于思维始终是内隐的，试题能够检验的其实是思维水平的外在表现倾向．基于以上认识，研究者在2017年的中考中命制了如下试题并在评卷过程中收集了若干数据及典型案例，尝试依托于范希尔理论对处在初中毕业阶段学生的几何思维水平表现倾向作出特征性描述．

1 试题呈现

“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知∠．请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

2 研究合理性分析

2.1 试题设计蕴含思维价值

该题以“构图＋说明”的方式考查直角的判定．在考查内容上，直角是最常见的几何基本元素之一，从七年级最简单的垂直定义到九年级圆、相似、锐角三角函数中的特殊关系，这一元素贯穿在初中阶段整个几何知识体系中，不同程度学生的认知结构中都或多或少、或浅或深地存在与此有关的基本图形．因此，这一内容属于几何学习的本源性问题解决，入口宽、限定性小、关联性高．在考查方式上，该题以作图操作代替思考路线的呈现，以陈述作法代替证明过程的书写，排除了可能出现的细节干扰．进行正确解答需要学生能构建至少两条关于直角的完整概念联结；理解作图依据及操作方法；具备一定的图形建模能力、表征转化能力、逻辑推理能力[6]；对数学对象有恰当的研究视角及相应策略．因此，这一方式既给学生留出了充分的探索空间也便于他们的几何综合能力被全面洞察，旨在以考查思维过程的方式评价他们思维广阔性、灵活性、深刻性的表现程度与倾向．

2.2 解答方法具备思维层次

该题以直角贯通初中阶段几何学习的各个版块，而因版块间的次序性及进阶性使得不同的方法具备了相异的思维含量并区分出了天然的思维层次．从解答的总体脉络来说，由于“直角”从数量关系上看是90°，从位置关系上看是垂直，所以主要有从数量到直角，从位置到直角，从对称到直角三条主线，第三条线兼有前二者．从解答的具体策略来说，这3条主线中各自包含的若干方法又因使用了不同的几何构图要素和关系网络而产生了不同的操作范畴与主要表现，这就使得解答自然体现出了思维层次．为了让学生体会到多样化的视角，示例“小丽的方法”中包含了从层次1~3的3种理解方式：从图形的概念与特性来说，该作法利用了“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”；从性质间的关系来说，该作法利用了“等腰三角形三线合一”；从单一公理化系统来说，该作法利用了“SSS”证明两个三角形全等[7]．对于示例的理解，由于思维水平不一的学生其内在识别角度不同，获得的思路启示不同，从而得到相异的构图与作法陈述，而这就外显了不同的思维表现倾向．

综上，因该试题的设计在考查内容及方式上都蕴含较为丰富的思维价值；其解答在操作范畴和具体表现上都可区分出不同的思维层次，故可用于测试处在初中毕业阶段学生的范希尔几何思维水平表现倾向的实然状态．

3 研究方法

3.1 研究对象

参加测试的总体是南京市2017年参加中考的46 987名考生的该题解答，该题满分8分，占整卷总分6.67%，全市得分率56.7%，均分4.54分．当置信度为95%、标准差取0.5、误差率取5%时算得所需样本约为357份（精确到个位）．该研究在评卷过程中随机抽取了374份样本解答，故置信度超过95%．样本均分4.62分，经检验，与市均分无显著性差异．基于上述两点，该研究的样本能够代表总体．

3.2 评分标准

由于该题旨在以问题解决的形式洞察学生的几何思维水平表现倾向，重点并非考查逻辑推理与表述论证的能力，所以吸取了TIMSS双重计分制[1]的理念，尽可能地不仅关注到操作的正确程度，还力求通过方法分来辅助诊断．同时，该题采用了PISA评分中的“无错假设”和“有利推断”两项原则[8]在解答方法正确的前提下对出现的微差错降低其失分．虽然在目前的中考评分体系要求下该评分方式受到限制[9]，但研究者仍尽量最大化了其实施．具体评分标准如下．

（1）两种不同方法每种各4分；（注：“不同”指构图依据不相同）

（3）每种方法中，方法分3分，作图与表述规范出现错误最多扣1分；

（4）若方法正确，但过程中涉及对角度的度量，则该方法仅计1分；

（5）方法分中，与操作过程相关部分计2分，与说理过程相关部分计1分．

3.3 水平匹配

根据范希尔几何思维水平中各层次的操作范畴与该试题解答各方法中具体策略的对应关系，将各策略与思维水平匹配如表2所示．

表2 各策略与思维水平匹配情况

注：（1）层次0在该题解答的表现指“看起来像直角”或“画了直角能够与∠重合”及类似表述；（2）该题解答不涉及层次4的表现．

4 研究结果及分析

该研究的结果及分析基于以下基本假设．

（1）正确解法若可以归为某层次，则表示能达到该层及以下思维水平，但不表示不能达到该层以上的思维水平，即：正确解法的层次归类表现的是思维倾向；

（2）错误解法若可以归为某层次，则表示不能达到该层及以上思维水平，即：错误解法的层次归类表现的是思维限定；

（3）由于该测试旨在以方法的正误判断学生的思维水平，因此，如下统计中所指的“正确（对）”解法包含思路正确但有细节错误的解法；

（4）基于上文对研究对象的分析，该研究的样本可以代表总体．

该研究的结果及其分析如下．

4.1 样本试卷的类型

关于样本试卷类型的数据结果如表3所示．

表3 关于样本试卷类型的数据结果

注：3种类型的试卷共计374张．

表3表明，样本中接近一半（44.7%）的考生可以用两种方法以“构图＋说明”的方式判定直角，所占比例次之的是两种方法都写了但有一种思路完全错误的（29.4%），排位第三的是写了两种方法但却都完全错误的（17.1%），之后依次是写了一种但错误（3.5%）以及完全不作答的（5.3%）．

从数据可以推断出：全市接近一半处在初中毕业阶段学生的认知结构中同时以图形和符号两种表征形式至少存储了两条关于直角的完整概念联结并能根据需要调用；但也有相当部分的学生至多只能够正确调用或仅储备了一条概念联结；呈现空白答卷可能是由于答题意愿较弱，不理解题意，没有关于直角的足够知识储备，考虑到时间限制，调用联结耗时过长也是因素之一．

4.2 正确解法的水平类别

关于正确解法水平类别的数据结果如表4所示．

表4 关于正确解法水平类别的数据结果

注：正确解法共计167×2＋110＝444个．

对于各层次的解法，举例如下：“如图1，过作⊥．若和重合，则∠＝90°．”的作图方法是“过一点作一条直线与已知直线垂直”，利用了垂直的概念，属于层次1的策略．“如图2，在、上分别取点、，以为直径画圆．若点在圆上，则∠＝90°．”的作图依据是“直径所对的圆周角是直角”，运用了圆周角的性质，属于层次2的策略．“如图3，在、上任取两点、，连接．另作△′′′，使得∠′′′＝90°，′′＝2，∠′＝∠．若′′＝2，则∠＝90°．”的作图依据是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“相似三角形的对应角相等”，运用了相似三角形的判定与性质，属于层次3的策略．

从表4可以看到，一方面，无论是思路与细节都正确还是存在细节错误，层次2的解法都是学生最倾向于表现出的，合计占比46.6%，层次1次之（29.7%），最不倾向于表现出层次3（23.7%），但后两者差别不大；另一方面，在3个层次内，思路与细节都正确占比是存在细节错误占比的倍数依次是5.32、4.89、3.55．

在基本假设（1）和（3）的前提下，可以推断出：由于层次2覆盖了初中阶段大部分独立的几何研究对象，而每种对象中都涉及与直角有关的知识，因此，群体性的层次2倾向表明了处在初中毕业阶段学生对这些独立对象有一定的知识储备以及研究经验与能力；相较于将几何对象联合起来考虑（层次3），学生更愿意呈现对几何基本构图元素的认识（层次1）；随着思维层次的增加，出现细节错误的可能性在增加，这说明由于学生思维仍然处于发展中，在这段时间里，当需要兼顾的思考角度变多时，思考的内容会有所遗漏或产生差错．

图1

图2

图3

4.3 两法全对中的水平组合

关于两法全对中水平组合的数据结果如表5所示．

表5 关于两法全对中水平组合的数据结果

注：两法全对试卷张数共计167张．

从表5中水平组合的6种分布来看，对于单张试卷来说，两种方法同时都最倾向于属于层次2（30.5%），这与表4的结果一致．而跨越了层次2的“1＋3”百分比（18.6%）略高于“1＋2”（18.0%），最少的组合是两种方法都属于层次3的（6.5%）．

依托于基本假设（1），作如下推断：对于独立的几何研究对象，如圆、矩形、等腰三角形等，它们的研究过程具有可类比性，研究方法具有可推广性，因此容易从一个对象联想到另一个对象；当个体知道不同的思维水平都能解决问题时，可能会不自觉表现出自己思维的最高层次；但个体的思维存在着波动性，保持高层次水平的思考有一定难度．

4.4 正确解法的水平分布

从图4和图5的对比中可以看出，第一，对于正确的解法，按倾向呈现程度从高到低排列都是层次2、层次1、层次3，数值差异性不大；第二，层次1在一对一错中的呈现要高于两法全对中的，层次2反之；第三，层次3在两种情况下的占比几乎没有差别．

可作这样的推断：与前文一致，处于初中毕业阶段的学生倾向利用图形性质间的关系解答几何题目并能保持一定的正确率；解题策略的多样化且正确程度与学生的思维层次有一定的关系，但这种关系更多地表现在中低水平上，与高水平的思维关联度不高．

注：两法全对中解法共167×2＝334个．

注：一对一错中解法共110个．

4.5 错误解法的类型

关于错误解法类型的数据结果如表6所示．

表6 关于错误解法类型的数据结果

注：错误解法共计110＋13＋64×2＝251个．

对于学生思路上的错误，将其分成了层次0、条件错误、结论错误3类．“层次0”无法用来解答该题，所以单列．因学生只要给出了图形，大部分均可描述出图形的形成过程，且该题重在方法分，故“图形描述错误”不属思路错误．如示例“小丽的方法”以“若…则…”形式进行说明，“若”后内容错误属“条件错误”，典型的条件错误是给出了用尺规作图在该题不可检测的条件，如45°、相切、平行等．例如，“如图6，在上取一点，过点作⊥．若∥，则∠＝90°．”“则”后内容错误属“结论错误”，即作图依据错误，从层次1到层次3的典型结论错误分别如：用直尺测量长度（直尺无刻度，不能测量长度）、有一组对角为90°且邻边相等的四边形是矩形（判定矩形的方法错误）；如图7，在、上任取两点、，连接．作的垂直平分线．若过点，则∠＝90°（仅能利用全等得到∠＝∠）．

图6

图7

从表6可以看到，层次0的错误占比最少（3.6%）．占比最多的是结论中的层次2错误（29.5%）和条件错误（29.1%），基本持平．处于中间段的是结论中的层次1（19.5%）和层次3（18.3%）错误，前者略高．

在基本假设（2）的前提下，可以推断出：处于初中毕业阶段的学生仍有极少部分的思维水平停留在层次0；大部分学生的思维水平处在发展中，在未达到理想水平的学生群体中，向层次2过渡的学生最多，向层次1和3过渡的居后；而由于达到层次3的标志之一是“理解证明中的必要与充分条件”，故若给出错误条件则可判定学生思维仅处在层次2，因此大部分产生错误解答的学生思维水平处在层次2（19.5%＋29.1%）．

4.6 总体中的若干数据

关于总体中若干的数据结果如表7所示．

表7 关于总体中若干的数据结果

注：“按总分区间”指将全市考生的数学分数从高到低以21%、40%、24%、15%区分为A、B、C、D四个档次．

由表7可知，在前3类中：考虑到全市平均得分率是56.7%，女生的思维水平相对优于男生，但差异有限，且对市均分影响不大；民办学校考生的思维水平整体超过公办学校学生较多，但由于其数量相对较少，故对市均分影响不大；城市学校优于城镇学校，农村学校居末，且远低于全市平均得分率，由于农村学校较多故对市均分产生一定影响．

对于按总分区间得到的4个档次，得分率呈明显差异，从数值可知：A档学生一般只存在细节错误，两种方法思路均正确；B档学生可能两种方法都存在细节错误或是有一种方法思路错误；C档是一种方法思路错误，另一种细节错误；D档则基本全错，可能存在部分步骤与解答相关．结合图8的全市得分率曲线可以进一步得知3点：一是该题得分率不存在区分点，因此效度较好；二是在第一点的前提下，学生的初中数学学业水平与几何思维水平基本呈正相关；三是处于初中毕业阶段的学生群体其几何思维水平呈分散态势，但有向较高水平转化的趋向．

图8 全市得分率曲线

5 结论与讨论

由于该研究样本对总体的代表性，从上面的数据分析与推断，可以得到如下结论．

（1）对处于初中毕业阶段的学生来说，其几何思维倾向于且能正确地表现出层次2的居多，层次1次之，最少的是层次3．这指的是尽管他们可能拥有更高水平的思维，但是会不自觉且以恰当的方式通过联系图形性质间的关系来解决问题．当无法建立几何对象及其性质的关系网络时，能够利用图形的概念或独立特性．对他们来说，最难以想到的是在整个初中几何体系中通过搭建对象与对象间的关系解决问题．

（2）处于初中毕业阶段学生的范希尔几何思维水平在同一层次内具备多样性，而多样化程度取决于该层次内认知结构的复杂程度，与层次的高低没有直接联系．这指的是在同一思维层次内学生可以利用认知结构内不同的概念联结解决同一个问题，当独立的概念联结越多时层次内能够建立的结构化推理个数越多．

（3）处于初中毕业阶段的学生，其思维水平在持续发展与进阶，但随着层次的增加，思维细节上的瑕疵也在增加．这是指除了一些特别优秀的学生以外，若表现出越高层次的解决方法，则越有可能出现细节错误，这也说明了此时大部分学生思维仍然不完美，有继续学习与修正的必要性与可能性．

（4）处于初中毕业阶段学生，其思维水平的表现倾向具有偶然性与不稳定性．偶然性指的是他们的思维易受其它因素的干扰，如答题时间、答题意愿、实现思考过程的繁琐程度等；不稳定性指的是尽管可能思维达到了更高层次，但是在解决问题时仍然不能持续保持处于该层次的思考，会外显出较低层次的思维倾向．

由于评分标准及样本的限制，该研究仍存在着值得进一步讨论的地方：从研究方法角度，采用此种类型的开放性试题检验学生的思维水平表现倾向是一个尝试但仍需进一步规范其命题及评分方式以增加研究结论的有效性；从思维发展的角度，有哪些策略能够帮助学生完成不同层次之间的过渡以及层次之内的深度发展；从几何教学的角度，思维水平表现倾向的揭示对几何课程设计、教学与评价的意义是怎样的，如何安排教学序列与呈现方式使得在符合学生现有水平的基础上提升他们的外显性思维表现．

[1] 鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009：4-5，75，207．

[2] 官红严，周超．针对数学教师的范希尔几何思维水平测试[J]．数学教育学报，2014，23（4）：83-85．

[3] 周超，鲍建生．对中学数学教师证明素养的一次调查[J]．数学教育学报，2009，18（6）：42-44，53．

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[5] 常磊，鲍建生．情境视角下的数学核心素养[J]．数学教育学报，2017，26（2）：24-28．

[6] 董林伟，喻平．基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J]．数学教育学报，2017，26（1）：7-13．

[7] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：33．

[8] 高凤萍．PISA数学素养测试对中国基础数学教育的启示[J]．数学教育学报，2015，24（5）：63-66．

[9] 张惠英，王瑞霖．基于核心素养的数学测评研究——以河北省2017年中考数学试题为例[J]．数学教育学报，2016，26（5）：31-35．

A Survey and Its Analysis on Van Hiele Geometric Thinking Levels of the Students Which Are at the End of Junior High School

WANG Hong-bing

(Teaching and Researching Department of Nanjing, Jiangsu Nanjing 210001, China)

According to the theory of Van Hiele Geometric Thinking Levels and base on an open-ended question in the Senior Entrance Examination of Nanjing in 2017, this paper first argued the rationality for using that question to assess students. Then, it matched different solutions with thinking levels. Meanwhile, the marking process had assigned points by method. On those basis, using random sampling, this paper identified present situations of the tendency on behaviors of the geometric thinking levels of the students which were at the end of junior high school by employing multiple techniques of quantitative data analysis. The results indicated four conclusions. First, among all the levels, most students were willing to show the behavior of Level 2 correctly. Second, although in the same level, thinking ways still had diversity. And, its extent of diversity depends on the complexity of the cognitive structure in that level, not directly relates to the height of the level itself. Third, thinking levels develop and advance sustainably. But it would increase its flaws on the details as the level goes up. Last, the tendency on behaviors of the geometric thinking levels had contingency and instability.

thinking levels; geometric thinking; at the end of junior high school; the tendency on behaviors

2018–06–18

2017年度第十二期江苏省中小学教学研究立项课题——数据驱动下的ICT与数学学习融合的设计研究（2017JK12-L007）；江苏省教育厅2017年基础教育前瞻性教学改革实验项目——基于证据的教学指导（初中数学组）

王红兵（1967—），男，江苏南京人，高级教师，中学数学教研员，主要从事初中数学教学与研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0052–05

王红兵．针对初中毕业阶段学生范希尔几何思维水平的调查及其分析[J]．数学教育学报，2018，27（3）：52-56．

[责任编校：周学智]