沈 威，陆 珺



数学教学课例研究的若干形态

沈 威1，陆 珺2

（1．惠州学院 数学与大数据学院，广东 惠州 516007；2．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241）

基于不同的研究目的，形成了多种数学教学课例研究形态．根据使用语境，分别是研课、课例点评、评课；根据课例来源，分为命题式数学教学课例研究、自觉式数学教学课例研究；根据课例的数量规模，分为数学教学多课例研究、数学教学单课例研究；依据课例的完整性，分为数学教学整案例研究、数学教学片段式研究；根据研究方法，分为质的研究方法、量的研究方法；根据理论应用与形成，分为自上而下的理论应用研究和自下而上理论建构研究．

数学教学；课例研究；方法论

1 引言

数学教学课例研究是数学教师专业发展的有效途径，是国际上一种非常流行的数学教育教学研究方式，在国内国际上多个数学教育期刊（或教育期刊）均能见到有关研究文献．基于不同的研究目的，形成了多种数学教学课例研究形态．经过文献梳理，数学教学课例研究在使用语境、课例来源、课例数量规模、课例完整性、课例研究方法、以及课例研究的理论运用与形成等各有侧重．

2 数学教学课例研究的语境名称

数学教学课例研究在不同语境下有不同的名称，主要是研课、课例点评、评课，这3种名称的使用语境折射出中国数学教学课例研究的群体分布、研究目标、研究依据、深入程度、以及对中小学数学教师专业发展促进价值等．

2.1 研课

研课一般使用在科学研究的语境中，研究群体主要是高校从事数学教学研究的教师，其核心是“科学研究”，他们扎根于数学教学课例（教学视频+教学过程文本），运用多种科学研究视角、研究工具、研究方法、研究策略等，不断与课例中的数学教学过程对话与互动，对教学过程中的教学目标、教学手段、教学行为、教学内容等作出理性思考，发现教学规律、原理，检验教学假设等，建构数学教学理论或指导数学教学实践[1-2]．

研课作为一种科学研究，研究者对数学教学课例作全面、深入、细致的分析，对教学过程综合运用归纳与演绎思维由外到内、由内到外做通透的理解，研究成果客观全面．研课的全面与深刻决定了研究过程必然占用大量时间，且在遵循研究伦理的要求下，发表研究成果不能公开课例执教老师的单位、姓名等信息，导致如果执教老师不主动向研究者获取研究结果，对数学研课过程与结果就未必知情，造成研究成果无法直接促进执教老师改进数学教学和教师专业发展．

2.2 课例点评

课例点评一般使用在基础教育类数学教育期刊栏目设置的语境中，研究群体主要是中小学数学教研员、教师等，他们综合运用数学教学知识，结合自身教学经验对数学教学课例（教学视频+教学过程文本）作出经验性的理解，其核心主要是“经验性理解”．目前设置“课例点评”栏目的期刊主要有《中学数学教学参考》《中国数学教育》等，从这些期刊发表的文献看，主要有两类课例点评形式：一类是期刊先在全国征集数学教学课例，再把征集到的数学教学课例的誊录稿或简案刊登，且把课例的录像通过其网站对外公开，对全国公开征集这些数学教学课例的点评稿，择优刊发；第二类是中小学教师或教研员在教学实践、教学比赛、教学评优、公开课等教学活动中发现一些优秀课例值得研究与推广，自发对这些课例作出自己的理解与研究，把数学教学课例及其点评稿同时投向期刊社，只要被录用，则被同时刊发．

课例点评作为中小学数学教师或教研员交流数学教学经验、改进数学教学方法等的交流平台，对数学教学的发展起到重要推动作用．在数学教育期刊的引领下，中小学数学教师与教研员积极参与数学教学课例研究，“课例点评”已经成为上述期刊的金牌栏目．从点评的内容看，其主要目的不是发现教学规律、原理，检验教学假设等，而是对课例中的教学过程作出全面分析与理解，对改进数学教学实践作出自己的推动．有的研究者不但研究数学教学课例，还把课例的教学过程“搬”到自己的课堂，对其进行检验与实验，在此基础上形成新的数学教学课例点评，在这些期刊上跟踪刊发．这些点评文章对执教老师完全公开，文章中提出各种理解与改进意见必然会对执教老师有所触动，因此数学课例点评直接促进了执教老师的数学教学实践及其教师专业发展．

2.3 评课

评课一般使用在中小学数学教研活动语境下，中小学数学教研活动主要有校级、区级（县级）、市级、省级或全国性的，从而形成各类数学教研活动的群体，评课老师的群体主要由高校从事数学教学研究的教师、数学教材编写者、中小学数学教研员、名特优教师等组成．中小学数学教研活动一般过程为执教教师向观摩课现场的教师和评委展示其教学过程，并在结束后对其教学过程作出说明，评委或评课老师对刚刚完成的教学过程作出评价．因为教研活动的现场性，无法对教学过程做誊录稿，人短时记忆存储的教学过程有限且有部分遗忘，导致评委老师不能对教学过程作出细致全面的分析，只能依据其研究和教学经验进行概要的点评，点评的主要目的是揭示其教学过程的靓点及如何更好教好这节课，其核心是“概要性评价”．教研活动的现场性对评课老师的评课有限制作用，但是其现场性具有的优点也是数学研课和数学课例点评无法企及的，例如，评课老师现场感受真实的教学过程，能对教学过程的诸多细节敏锐捕捉，且执教教师直接面对评课老师的点评，对点评的所有内容全部知情，直接推动了执教教师教学实践的优化．

从上述讨论可以看出，3类语境下的数学教学课例研究对数学教育教学理论发展、教学实践改进、教师专业发展的促进作用和价值各不相同，但又从多个角度相互弥补不足．用矩阵表1可以直观表征研课、课例点评和评课3类语境下的数学教学课例研究的内涵．

3 数学教学课例研究的课例来源

3.1 命题式数学教学课例研究

命题式数学教学课例研究是指主办方要求研究者或课例点评者面对指定的数学教学课例作出相应的研究或点评．例如，各级教学比赛、优质课、公开课等，以及数学教育期刊的课例点评征稿等．如果是在各级教学比赛、优质课、公开课等语境下进行的数学课例研究则是数学评课．如果是在数学教育期刊的课例点评征稿等语境下进行的数学课例研究则是数学课例点评，例如，《中学数学教学参考》（中旬）期刊发布的相关课例点评征文[3]，课例点评者对该期刊发布的相关教学课例进行研究分析，并把研究成果投向该刊物．

3.2 自觉式数学教学课例研究

“自觉”指自己有所认识而主动去做；自己感觉到；自己有所察觉．自觉即内在自我发现、外在创新的自我解放意识．自觉式数学教学课例研究指研究者或课例点评者基于一定的社会使命感或根据自己的兴趣爱好有目的的选择课例开展研究．有的直接去中小学数学课堂录像，有的把教学比赛、优质课、公开课、期刊课例作为研究对象开展研究．例如《中学数学教学案例研究》[4]中的教学案例都是研究者根据需要到中学录像而获得．自觉式研究的课例获得会受到各种条件的限制，并不一定能够在自己需要的时候易于获得这些课例，需要研究者根据实际情况有目的、有计划地获取相关数学教学课例．

在课例研究过程中，兴趣和认识深刻性这两个因素对命题式和自觉式数学教学课例研究具有重要影响，它们从不同维度影响课例研究者的观点形成．研究表明，人们很难对自己不感兴趣的研究对象有深刻的认识[5]，用矩阵表2从感兴趣且认识深刻、感兴趣且认识不深刻和不感兴趣且认识不深刻3个维度对命题式和自觉式数学教学课例研究的影响作出揭示．

表1 3类语境下的数学教学课例研究

表2 兴趣和认识深刻性对课例研究者的影响

通过多维度组合，可以发现，不管是命题式还是自觉式数学教学课例研究，只有对课例感兴趣且认识深刻，才能对执教者、读者和数学教育理论的发展均有益处．从发展的视角，研究者应该对感兴趣且认识不深刻、不感兴趣且认识不深刻的数学教学课例开展深入研究．相关研究表明[6]，面对一个研究对象，有的是在研究之前对研究对象感兴趣，有的是在研究过程中对研究对象感兴趣，而时间投入直接影响研究者对研究对象的兴趣程度．因此，只要研究者对认识不深刻的数学教学课例投入一定的时间，结合自己的研究经验、相关文献，在研究过程中对研究对象逐渐产生浓厚的兴趣，促进研究者对相关数学教学课例的深刻认识．

4 数学教学课例研究的数量规模

依据数学教学课例的数量规模，可以分为数学教学多课例研究和数学教学单课例研究两种．

4.1 数学教学多课例研究

把多个数学教学课例作为研究对象称为数学教学多课例研究．数学教学多课例研究可以从更大的研究视野，对课例中的教学过程作横向、纵向或交叉研究．由于课例多，研究可以获得更一般的结论，具有更强的推广性．例如，沈威对14个初中数学复习课例进行了归纳研究，得到这些课例的教学过程均包括4个基本过程：复习相关概念、样例教学、阶段总结和分层作业，以及复习相关概念主要有3种策略：一是直接展示或提问相关内容的定义、性质与定理等；二是通过概念性的问题间接考查学生对相关概念本质的理解程度；三是通过改变概念非本质属性，保留概念本质属性的变式题考查学生对概念本质的把握[7]．叶立军对6节数学课中新老教师教学语言使用的异同进行了比较研究，研究发现教师课堂教学语言有以下特点：（1）新老教师都较注重教学语言的使用，总体上以询问语言、肯定式语言和表情式语言为主；（2）新教师使用较多教学语言，但不敢对学生放手，老教师善于使用教学语言引导学生思考；（3）新老教师在新授课和应用课各教学环节中教学语言的使用分布存在差异[8]．Rossella Santagata对30个意大利和30个美国八年级数学课堂教学的教师纠错行为进行研究，研究发现，意大利和美国学生在某些方面具有类似的错误经验，这些差异被解释为复杂的信仰和习俗系统的表现[9]．

4.2 数学教学单课例研究

把一个教学课例作为研究对象称为数学教学单课例研究．数学教学单课例研究能够使研究者从微观层面对教学过程作出深入、细致的理解，追踪教学的变化过程，揭示相应的教学规律、教学理念、数学思想等．例如，徐伯华以“数学归纳法”一课为例，展示了教师个体研课的模式，从学科知识、教学目标、教学路线、课题引入、师生交互、例题选用等6个方面对“数学归纳法”一课进行研究[10]．《中学数学教学参考》刊出的课例点评文章主要以单课例研究为主．

5 数学教学课例研究的完整性

依据数学教学课例的完整性，可以分为数学教学整案例研究与数学教学片段式研究．从绝对意义上说，所有的课例研究都是片段式的．但是对课例研究的完整性作出分类依然是有意义的．这能够启发或提示研究者从更多视角、更多部分、更多细节、更多理论基础等把数学教学课例视为完整的教学系统，对数学教学课例作出全面的研究．

5.1 数学教学整案例研究

对整个数学教学课例以系统性的视角多层次、多方面、多形式、多序列等全面研究课例的各个部分以获得深刻认识的过程称为数学教学整案例课例研究．整案例研究是相对的，不管研究者如何穷尽教学课例的教学过程，也必然因为研究视角、研究基础、研究方法、研究思路、研究兴趣等局限，使得客观上并没有穷尽教学课例的所有教学过程．数学教学整案例式研究能促进研究者对数学教学的系统性思考，把各个参与对象都纳入到教学系统中，任何对象发生扰动性的变化，都会对教学过程产生很大影响，甚至根本性的影响．例如，徐伯华对“数学归纳法”教学的研究，即是从整案例的视角对数学归纳法的历史、学生对数学归纳法的认知、课堂教学路线图、课堂教学局部特征等5个方面审视之[10]；涂荣豹主编的《中学数学教学案例研究》[4]，《中学数学教学参考》刊出的课例研究论文亦都是从整案例的视角对课堂教学作出分析．

5.2 数学教学片段式研究

对数学教学课例的局部或者某一主题作出考查，深入洞察局部教学过程发生的各种细节，揭示局部教学过程蕴含的教学规律、教学思想、数学思想等的过程称为数学教学片段式课例研究．一般来说，这种研究更多运用于横向比较研究，从中获得局部教学过程的一般规律．例如Rossella Santagata仅对30个意大利和30个美国八年级数学课堂教学的教师纠错行为的教学片段进行研究[9]．叶立军对课堂教学研究主要研究方式是片段式研究，他分别对教师提问策略、教师的课堂教学语言、优秀数学教师课堂提问能力等进行了专题的编码定量分析[8，11-12]．陆珺对两节课的教学结束阶段概括总结进行了专题定量研究[13]．斯海霞等对初中数学课堂学生参与度进行了定量统计研究[14]．把数学教学课例研究的数量规模和完整性相结合，可得到如下4种数学教学课例研究范式，如矩阵表3．

表3 不同数量规模与完整性视角下数学教学课例研究范式

6 数学教学课例的研究方法

数学教学课例研究有的是在丰富、复杂、流动的自然情境下展开，研究者和教学课例中的教学过程互动，深入洞察教学发生过程，根据自己的亲身感悟、理解等进行研究；有的是对数学教学过程的相关变量进行控制，设定控制组与对照组，检验相关研究假设的教学实验研究．

6.1 质的研究方法

陈向明把质的研究方法定义为“质的研究是以研究者本人作为研究工具，在自然情境下采用多种资料收集方法对社会现象进行整体性探究，使用归纳法分析资料和形成理论，通过与研究对象互动，对其行为和意义建构获得解释性理解的一种活动”[15]．以此为基础，数学教学案例质的研究方法可出初步定义为“研究者以本人作为研究工具，把自然情境下的数学教学课例‘掰开’，不断与课例中的教学过程互动，交替使用归纳与演绎思维，以描述的方式深入揭示数学教学过程蕴含的教学理念、教学理论、数学思想等，对教学过程作出自己解释性理解的一种活动”．

从已有文献看，数学教学课例研究主要采用质的研究方法，主要包含两个研究方向，一是运用数学教学理论对数学教学过程进行“就事论事”的分析，挖掘教学过程的优点和缺点，对数学教学课例的执教者和读者有直接的促进价值，课例点评和评课语境下的数学教学案例研究即是如此；二是以数学教学案例为基础，建构数学教育教学理论，数学研课就是这种形式[16-17]．虽然数学教学课例研究主要采用质的研究方法，但尚未形成一套具有可操作性强的质性研究程序，还需要进一步发展与深化这种研究方法．例如，研究者如何开启他面对一个数学教学课例的分析历程，如何描述数学教学课例的历程，如何对数学教学过程进行质性编码，如何建立编码之间的关系形成概念框架，如何解释所建构的概念框架等都还没有可以直接借鉴的研究成果．

此处讨论的数学教学课例质的研究方法不包括哲学思辨的研究方法，但在质的研究过程中却需要这种哲学思辨的思维模式，而且这种思维模式对质的研究起到至关重要的作用．之所以质的研究不包括哲学思辨研究的方法，因为教学课例的质的研究方法属于实证研究，是行动研究，而哲学思辨的研究方法不是行动研究．

如果把质的研究方法与数学教学课例的数量规模、完整性相结合，可得到如下4种数学教学课例研究范式，如矩阵表4．

表4 质的研究方法视角下数学教学课例研究范式

6.2 量的研究方法

量的研究是一种对事物可以量化的部分进行测量和分析，以检验研究者自己对于某些理论假设的研究方法．数学教学课例量的研究方法可以初步定义为“研究者基于某种理论假设，或者不进行理论假设，根据是否需要教学实验，依靠某些研究工具，比如量表、统计表等，对数学教学课例中的教学过程做出数据统计与分析，以此作出自己解释性理解的一种活动”．例如，肖春梅、喻平提出中学生CPFS结构生长的4种教学策略：生长策略、变式策略、反思策略和结构策略，在此基础上，通过等组实验的方法，开展一学年的教学实验后，采用两个函数问题对学生进行测试，并对学生答题情况进行统计学的计分与分析，结论为实验班学生的总体成绩呈上升趋势，检验了4种CPFS结构生长的教学策略有效性[2]．叶立军等对初中统计课堂教学提问进行了统计分析，主要获得了如下结论：（1）教师提问的数量相对比较少，提示类和理解类的提问类型所占比例较高；（2）学生无答的情况较少，但在问题回答中，学生机械性回答占了较大的比例，教师创新性问题较少；（3）教师提问难度与学生回答水平有直接的关系[18]．

如果把量的研究方法与数学教学课例的数量规模、完整性相结合，得到如下4种数学教学课例研究范式，如矩阵表5．

表5 量的研究方法视角下数学教学课例研究范式

7 数学教学课例研究的理论运用与形成

根据理论形成与应用的方向，可以把数学教学课例研究分为自上而下的理论应用研究，和自下而上的理论建构研究．

7.1 自上而下的理论应用式研究

所谓的自上而下理论应用式研究，是指研究者运用已有的教学理论对教学作出自己理解性的研究，这种研究既可以是质的研究，也可以是量的研究．如果是质的研究，即是研究者以分析性、解释性的方式对教学过程进行研究，重点考查教学过程是否符合某些教学理论、教学规律、教学思想、数学思想、学生心里发展规律等．如果是量的研究，即是研究者运用已有的理论作出研究假设，制定研究量表或测量工具，通过数据的形式刻画教学过程中的细节，检验教学过程是否符合研究假设．例如，黄毅英、许世红先建构了MPCK理论框架，而后运用MPCK理论对相关教学案例进行分析[19]；鲍红梅、喻平对完善中学生CPFS结构生长策略提出理论假设，通过实验班和对照班教学实验的结果进行统计分析，以此对研究假设进行检验[2]．

7.2 自下而上理论建构式研究

所谓的自下而上理论建构式研究，是指研究者在研究之前不带有研究假设，扎根于数学教学课例的教学过程，通过对教学过程的分析、编码、概括、总结等思维操作，归纳出一定数学教学理论的研究过程．例如，涂荣豹基于数学课堂教学研究提出数学教学原理：“教学生学会思考”的原理；“运用研究问题一般方法教学”的原理；“问题结构推进教学”的原理；“创设情境，提出问题”的原理；“从无到有探究”的原理；“用启发性提示语引导”的原理；“学生积极参与数学活动”的原理；“反思性教学”的原理；“归纳先导，演绎跟进”的原理；“以寻找思路为核心”的原理．

8 结语

开展数学教学课例研究，常出现一项研究包含两种或两种以上的形态，例如，徐伯华对“数学归纳法”一课的研究表现出自上而下的研课框架理论运用、单案例、整案例研究的特点，Rossella Santagata对30个意大利和30个美国八年级数学课堂教学的教师纠错行为研究表现出多案例、片段式、自下而上理论建构式的特点，这些均由研究需要而决定．

虽然数学教学课例研究文献颇多，研究者对研究数学教学课例亦颇感兴趣，但如何开展相关研究的方法论研究却少之又少．为使数学教学课例研究便于入手，使得研究过程可视化或可操作化，有必要对数学教学课例研究的方法论或与之相关的研究策略、研究路径等作深入分析，促进数学教学课例研究方法论的深入发展．

从事数学教学课例研究，也不宜过分强调形式化的研究方法，而应该紧紧抓住所研究课例中的数学思想、大观点、大概念及其蕴含的数学价值、科学价值等，从学生可持续发展的角度，考查数学教学在多大程度上引导学生学会发现问题、分析问题，培养数学直觉与思辨能力，促进学生数学思维能力的发展等，进而检验理论假设或建构数学教学理论．既要智慧地运用与发展数学教学课例研究方法，更要牢牢把握课例中的数学本质及其教育功能，否则，研究数学教学课例获得的结论对促进与改善数学教学实践便意义不大．

[1] 涂荣豹．“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J]．数学教育学报，2004，13（4）：5-8．

[2] 鲍红梅，喻平．完善中学生CPFS结构的生长教学策略研究[J]．数学教育学报，2006，15（1）：45-49．

[3] 荀峰．微课课例展示与评析[J]．中学数学教学参考（中旬），2015（1）：42-54．

[4] 涂荣豹．中学数学教学案例研究．北京：北京师范大学出版社，2011：9．

[5] 方世南．论兴趣在认识中的作用[J]．江汉论坛，1989（5）：39-42．

[6] 何旭明，陈向明．学生的学习投入对学习兴趣的影响研究[J]．全球教育展望，2008，37（3）：46-51．

[7] 沈威．透视设计过程 研讨复习规律[J]．中学数学教学参考（中旬），2012（6）：25-28．

[8] 叶立军，李燕，斯海霞．初中数学新老教师课堂教学语言比较研究[J]．数学教育学报，2015，24（4）：40-43．

[9] SANTAGATA R. Practices and beliefs in mistake-handling activities: a video study of Italian and US mathematics lessons [J]. Teaching and Teacher Education, 2005 (21): 491-508.

[10] 徐伯华．教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例[J]．数学教育学报，2010，19（4）：1-4．

[11] 叶立军，周芳丽．基于录像分析背景下的教师提问方式研究[J]．教育理论与实践，2012，32（5）：52-54．

[12] 叶立军，周芳丽．基于录像分析背景下的优秀数学教师课堂提问能力的研究[J]．数学教育学报，2014，23（3）：53-56．

[13] 陆珺，涂荣豹．课堂教学结束阶段概括总结的研析——从两个教学案例出发[J]．中学数学教学参考，2009（1）：6-8．

[14] 斯海霞，叶立军．基于视频案例下初中数学课堂学生参与度分析[J]．数学教育学报，2011，20（4）：10-12．

[15] 陈向明．质的研究方法与社会科学研究[M]．北京：教育科学出版社，2000：12．

[16] 涂荣豹．谈提高对数学教学的认识[J]．中学数学教学参考，2016（1）：4-8．

[17] 徐伯华．数学研课的内容框架研究[D]．南京：南京师范大学，2012：5．

[18] 叶立军，李燕．基于录像分析背景下的初中统计课堂教学提问研究[J]．数学教育学报，2011，20（5）：52-54．

[19] 黄毅英，许世红．数学教学内容知识[J]．数学教育学报，2009，18（1）：5-9．

Mathematics Lesson Case Studies of Several Forms

SHEN Wei1, LU Jun2

(1. College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China; 2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Based on different research purposes, a variety of mathematical teaching case studies had formed. According to the context of use, respectively, lesson study, lesson remarks, and lesson evaluation; according to the source of the lesson, it was divided into propositional mathematics teaching case study, the study of subjective mathematics teaching; according to the number of lesson scale, it was divided into multiple lessons research, mathematics single lesson research; based on the integrity of the study case, it was divided into mathematics teaching case study, mathematics teaching piecemeal research; according to research methods, it was divided into qualitative research methods and quantitative research methods; according to the theoretical application and formation, it was divided into top-down theoretical application research and bottom-up theoretical construction research.

mathematics lesson; lesson studies; methodology

2018–01–05

广东省高等教育教学改革项目——卓越视野下职前数学教师教学能力培养模式研究；惠州学院优秀青年培育项目——数学教师核心素养研究（hzu201713）

沈威（1982—），男，安徽灵璧人，副教授，博士，主要从事数学课程与教学论研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0076–05

沈威，陆珺．数学教学课例研究的若干形态[J]．数学教育学报，2018，27（3）：76-80．

[责任编校：周学智]