张 睆，辛自强，陈英和，胡卫平



小学儿童分数概念语义理解水平及模式：基于潜在类别分析

张 睆1，2，辛自强3，陈英和4，胡卫平1

（1．陕西师范大学 现代教学技术教育部重点实验室，陕西 西安 710062；2．山西师范大学 教育科学学院，山西 临汾 041004；3．中央财经大学 社会与心理学院，北京 100081；4．北京师范大学 心理学部发展心理研究院，北京 100875）

分数符号在不同情境下分别指称部分－整体、测量、比、算子和商5种语义含义．使用分数概念语义理解测验，基于潜在类别分析方法，对295名小学六年级儿童的分数概念语义理解水平和模式进行评估．结果表明：（1）从不同语义含义的理解水平差异上看，由高到低为商、部分－整体、测量、比、算子；（2）从语义含义掌握模式来看，部分－整体、测量、比、算子均可分为掌握良好组和不良组两类．其中，在部分－整体和算子含义上，两组被试理解水平不同而模式类似，而在测量和比含义上，两组儿童理解水平和模式均有较大差异；（3）从各语义理解的掌握模式类别间关系来看，掌握良好组的归类一致性高于掌握不良组．

分数概念；语义理解；掌握模式

1 前言

理解数学符号含义，培养数学符号意识是数学教育的基本要求，也是发展学生数学核心素养的基础[1]．而在小学阶段，分数符号的含义尤难理解[2]．在数学中，分数的形式化定义为“所有形如/的数集，其中、都是整数，且≠ 0”．该定义说明了分数概念的符号形式（形如/的数集），并未说明符号/代表何种含义．概念分析表明，分数/至少表示5种含义：部分－整体、测量、比、算子与商[3]．这些含义称为分数概念的语义含义（semantic meaning），代表了不同问题情境中两个量间的特定关系[4]．具体而言，“部分－整体”含义表示了在分配问题情境中整体量与部分量之间的包含与补偿关系，“测量”含义表示了测量情境中所测量与单位量之间的包含关系，“比”含义表示了比例问题情境中两个量之间的比例关系，“算子”含义则表示了各种变换问题情境中输入量与输出量之间的变换关系，而“商”含义表示了在数学运算中被除数与除数之间的除法运算关系[5]．由于这些问题情境代表了小学阶段儿童可能遇到的分数问题，因此这些含义代表了小学阶段儿童对于分数概念可能的语义理解．

教育虽迈向可能，却须从现实出发．上述概念分析只说明了小学儿童可能的分数概念语义理解，却不能回答他们实际上如何理解分数概念语义含义．要说明后者，关键是测评小学儿童对分数概念语义含义的理解水平和掌握模式．所谓理解水平，即儿童对每种语义含义的理解水平的高低．所谓掌握模式，就是不同儿童对每种语义含义的具体理解方式．由于每种分数语义含义的理解都包括一系列必要的认知成分[6]（见表1），掌握模式即评估不同儿童在理解该种语义含义时，哪些认知成分掌握较好，而哪些认知成分掌握较差．

评估掌握模式的实质是进行知识结构诊断，即根据儿童在测验上的反应，对其知识结构进行分类和识别．传统的规则空间模型或属性层次模型，虽可以在个体水平上对单个儿童的掌握模式进行精确判定，但当儿童数量较多时，往往会得出较多的掌握模式类别[7]．例如，有研究者使用规则空间模型方法分析了被试在瑞文推理测验上的掌握模式，最终得到48种典型掌握模式[8]．显然，在面对众多典型掌握模式时，教师将难以在有限的课堂教学时间内进行针对性的干预．因此，传统的规则空间模型或属性层次模型方法虽有利于对个别学生的认知结构进行精确判定，并通过智慧教学辅助系统等个别教学方式对学生的知识缺陷进行补救，但过多的掌握模式并不利于教师在班级教学情境下对学生进行群体水平的补救干预．

从课堂教学的现实需求来看，教师需要的知识结构诊断方法，既要能科学地区分学生的掌握模式，同时类型数目又不宜太多．潜在类别分析（Latent Class Analysis,）可以起到这样的作用．分析可以根据外显的行为指标来判断个体的潜在心理特征进行分类，得出各类型的人数比例，并判定个体的类别归属，有助于对各种特征的个体进一步地研究和干预[9]．在知识和能力测验中，潜在类别模型是基于考生在每道题目上的作答情况对被试做出分类，而非仅仅基于总分高低．因此当测验中每道题目都用于测量特定的认知成分时，潜在类别就能表示个体对这些认知成分的掌握模式[10]．同时，的类型判别标准相对简洁，因此得到的类型数目较少．例如，同样是分析被试在瑞文推理测验上的掌握模式，当使用潜在类别模型方法分析时，研究者得到3种典型的掌握模式[11]．另外，由于潜在类别分析是基于结构方程模型的类别分析方法，在类别划分上既有较为明确的判别标准，也不需考虑外显变量的量纲差异，以及外显变量之间的关联性，因此也优于传统的聚类分析方法．

在研究中，将采用潜在类别分析法，探讨小学儿童对分数概念语义含义的理解水平和典型掌握模式．具体包括：（1）在多种分数语义含义中，儿童对哪种含义掌握较好，哪种掌握较差；（2）对于每种语义含义，儿童具有哪些典型的掌握模式，不同的掌握模式间有何差异；（3）各典型掌握模式在不同语义含义间的对应关系．例如在部分整体概念上属于某种典型掌握模式的个体，在另一子概念上的掌握模式如何．通过分析每种语义含义的理解水平，掌握模式，以及各语义含义的掌握模式间的相互对应关系，可以对儿童分数概念语义含义的掌握情况做出更为精细的诊断，从而为群体水平上的教育干预提供依据．

2 研究方法

2.1 被试

从山西省临汾市和忻州市共4所普通小学中整班选取6年级儿童295名，其中男生150名，女生145名．平均年龄12.8岁．这些学校采用人教版小学数学教材，所有儿童在测试前，均已学习过小学分数知识的全部内容．

2.2 研究工具

由张睆、辛自强编制的“儿童分数概念理解测验”，该测验包括部分—整体、测量、算子、比、商5个分量表，除商以外，其余4个分量表均各包括5个项目，而每个项目均用于测查掌握该语义含义所需的特定认知成分．测验结构及项目说明见表1．

表1 “儿童分数概念理解测验”测验结构及项目说明

2.3 测验实施与计分

2015年3月下旬施测，采用随堂团体测验形式，要求学生40分钟内完成．由受过训练的心理学研究生担任主试．最后发放问卷300份，共收回有效问卷295份．从实际施测情况看，所有学生均可以在40分钟内完成测验．

研究者在以下3个水平对测验结果进行计分．第一，认知成分掌握水平，指标为被试在每个项目上的计分，正确计1分，错误计0分．第二，子概念掌握水平，将儿童在每个子概念上的平均得分作为指标，表示儿童对该子概念的掌握水平．第三，分数概念掌握水平，将儿童5个子概念的得分相加，作为儿童在整个分数概念测验上的得分．

2.4 统计分析

使用Mplus7.0对各子概念进行探索性潜在类别分析（）．数据分析包括两个步骤，第一步，基于模型适配的检验指标确定最佳类别数目，并分析每一类别在各题项上的平均得分，从而为类别命名．每一种类别代表了儿童对特定语义含义的一种掌握模式．第二步，计算每个儿童在各类别上的归属概率，从而确定个体对每种分数语义含义的掌握模式．

模型适配的检验指标主要有：（1）模型信息指数，包括、和，这些指标数值越小，表示模型拟合越好．其中，指标适用于较大样本量（如1 000以上）．当样本量较小时，与指标相比无偏性更佳，而指标则是对指标的矫正．（2）表示分类的准确性，当大于0.6时，表示分类准确性在80%以上，而大于0.8则意味着分类准确性在90%以上．（3）似然比检验指标，包括和，该类指标说明，潜在类别为的模型，在数据拟合上是否显著优于类别数为-1的模型．在可能的类别数量较多，而被试量相对较少时，似然比检验指标能较为准确地判定分类数量[13]．

3 结果

3.1 儿童对不同分数语义含义的理解水平

统计被试在分数概念每种语义理解上的平均得分，以代表被试群体对于该含义的一般理解水平，具体见表2．

表2 分数概念不同语义理解下各项目得分的平均数与标准差

从表2中各平均数可以看出，对6年级儿童来说，在分数概念的5种语义含义中，商含义平均得分最高，说明最容易理解，算子含义平均得分最低，说明最难理解．对各组分数的重复测量方差分析也表明，5种语义的一般理解水平差异显著，(4, 291)=147.63，<0.001，效果量2=0.67，进一步事后检验表明，部分－整体，测量，比、算子和商之间，两两差异均显著．

3.2 儿童分数语义理解的潜在类别

由于商含义只包含一种认知成分（见表1），且其整体掌握水平最高，无需分析儿童在商含义的不同认知成分上的掌握模式．因此，分别对儿童的部分—整体、测量、比和算子4种语义理解进行了潜在类别分析．分别抽取了1~4个潜在类别模型，模型拟合指标见表3．由于样本量小于1 000，因此，主要参考的模型适配度指标为和指标．由表2可知，对各个分数子概念来说，当潜在类别数为2时，和指数最小，且或达到显著水平．这说明，儿童对部分－整体、测量、比、算子的理解，均以两个潜在类别为最佳．

表3 儿童分数子概念理解的潜在类别模型比较

注：***< 0.001

确定了两次测试的最佳类别数目后，进一步分析了各潜在类别在观测指标上的得分，以描述和命名这些类别．分析结果见图1．

总的来看，在4种分数语义含义的掌握模式上，潜类别1儿童理解水平均好于潜类别2，因此，潜类别1可以命名为掌握良好组，潜类别2为掌握不良组．且掌握良好组人数均显著高于掌握不良组人数．但进一步分析可以看出，对于每种语义含义来说，掌握良好组并非在所认知成分上均掌握良好，而掌握不良组也并非在所有认知成分上掌握均差．在不同语义含义上，两组儿童表现出不同的掌握模式特征．

在“部分—整体”含义上（见图1A），对比两组儿童的掌握模式特征，可以看出两类儿童在掌握模式上表现出同样的特点，即在判断等分、识别部分与整体等认知成分上表现均较好，而在理解整体与部分间的包含与补偿关系等认知成分上均表现略差．

在“测量”含义上（见图1B），两组儿童的掌握模式特征则有所不同．掌握良好组儿童在“测量”含义的5个认知成分上掌握水平高且差异极小，较完整地掌握了“测量”含义所包含的认知成分；而类别二儿童则仅在“确定单位”与“等分单位”上表现较好，而在分数的数形转换任务（将分数表示位数轴上的点，以及将数轴上的点表示为分数）掌握较差，仅部分掌握了测量含义的认知成分．

在“比”含义上（见图1C），两组儿童表现出不同的掌握模式特征．在5种认知成分上，掌握良好组儿童在油漆混合任务上表现最差，而其它任务表现较好．而掌握不良组儿童在所有题目得分均低于0.4，说明在比含义中的所有任务上表现均差，且在“不同测度量相比”的任务上表现最差．

在“算子”含义上（见图1D），两类儿童的掌握模式较为一致，在连续变换与伪变换任务上均表现较差，而在“用分数表示变换”以及“变换率与输入量无关”的理解上，掌握良好组儿童的表现要好于掌握不良组儿童．

图1 不同分数语义理解的潜在类别

3.3 不同分数语义掌握模式间的关系

每个子概念上的不同掌握模式人数及其在其它模式上的对应概率见表4．表中第1、2列为4种分数语义含义及其典型掌握模式，第3列为每组模式的人数，4~19列为每组被试在其他组别中的人数和期望概率．以第一行为例，部分—整体含义中，掌握良好组265人，且这265人中，有73.2%（194人）同时处于测量掌握良好组，有96.2%（255人）同时处于比掌握良好组，有77.4%（205人）同时处于算子掌握良好组，其它各行含义相同．

对不同语义含义间掌握模式的关联性进行两两比较，结果表明，4种语义含义间关联性均显著，卡方检验：

所有<0.01．说明4种语义掌握模式分类间存在一致性．4种语义的掌握模式一致性程度有多高呢？作为衡量分类一致性的指标，系数从高到低排序依次为：

所有<0.05，可见，所有系数小于0.4，说明虽存在一致性，但一致性程度较低．

表4 儿童各子概念潜在类别的人数及频次

注：良好=掌握良好组，不良=掌握不良组

4 讨论与建议

使用分数概念语义理解测验，通过潜在类别分析方法，评估了小学六年级儿童对分数概念语义含义的理解水平和掌握模式．结果表明，（1）从分数语义理解水平上看，儿童对算子含义的掌握水平最低，而对于商含义的掌握水平最高．（2）从分数语义掌握模式来看，部分—整体、测量、比、算子均可分为掌握良好组和掌握不良组两类．其中，在部分－整体和算子含义上，两组儿童掌握模式类似，而在测量和比含义上，两组儿童掌握模式有较大差异．（3）从各语义含义掌握模式间关系来看，分数语义含义掌握模式间存在分类一致性，其中掌握良好组的归类一致性较高，而掌握不良组的归类一致性较低．

从分数语义理解水平来看，首先，有88%的儿童掌握了分数的商含义，且显著高于其它语义含义的掌握水平．由于分数的商含义指分数是“分子除以分母的运算结果”，代表了儿童对于分数概念的数学意义的理解．该结果意味着在分数的多种语义含义中，儿童更易于掌握分数概念的数学运算含义．这一方面可能是由于在小学数学教学中，教师更强调正式的数学符号运算规则[14]．另一方面小学生对除法运算和分数概念的理解，都以日常的等分经验为基础[15-17]，因此儿童较容易理解分数的除法含义．其次，儿童对部分—整体含义的理解水平高于测量、比和算子．以往研究也表明，儿童对部分—整体含义的理解较好[18]，例如，郭萌等对五、六年级学生分数表征转化能力的调查发现，儿童用真分数表示面积阴影图的正确率高达97.2%[19]，这是由于在分数概念的多种语义含义中，部分—整体含义更易于与儿童已有的整数知识建立关联．相反，儿童对于算子概念掌握较差，分数的乘法算子含义，就是分数作为倍数时的含义．以往的分数乘法应用题研究即表明与整数作为倍数相比，儿童很难理解分数作为倍数时的含义[20]．

从分数语义掌握模式来看，儿童对分数语义含义的掌握分为掌握良好和掌握不良两种模式，且掌握良好人数均高于掌握不良人数．在部分－整体含义上，掌握良好组与掌握不良组两组儿童掌握模式类似，难以理解整体与部分间的包含与补偿关系是两组儿童的共同弱点．在测量含义上，两组儿童在分数数字线的3个数形转换任务上差异较大，以往研究也表明，儿童在数字线估计任务上的表现，可以较好预测儿童分数概念掌握水平[21]．这说明儿童对分数测量含义掌握不良主要集中在分数符号——数字线的表征转换过程中．在比含义上，掌握良好组儿童占到全体被试的94%，除“比为相对量大小”外，其余认知成分掌握水平普遍较高，而掌握不良组儿童虽然仅有4%，但对各认知成分的掌握水平普遍较低，说明绝大多数儿童都能很好地掌握“比”含义，同时，对于两组儿童来说，理解“比是相对量大小”都较为困难．

从掌握模式间关系来看，当儿童对部分—整体含义掌握良好时，对其它语义含义的掌握也较好．这可能是由于“部分—整体关系”的含义较容易为儿童已有的整数概念同化，较易于理解，因此成为儿童掌握其它分数概念语义含义的基础．具体来说，儿童通过将一个整体等分为几个相互独立的部分，并将每个部分看作一个“1”，从而把分数问题转化为整数问题加以解决[22]．事实上，在日常经验和正式教学中，儿童往往通过部分—整体方式理解分数概念．在正式学习分数概念之前，儿童即可以使用等分的方式解决一些简单的分数问题．即使学习分数之后，儿童最初也往往是依靠分割和计数的方法来解决分数问题[23-24]．

研究结果也表明，部分—整体并非儿童掌握其它分数理解方式的必须途径．儿童有可能在没有良好掌握“部分整体”含义的条件下，较好掌握“比”的语义含义．比意味着两个量的相对大小，研究表明，分割计数和相对量大小知觉都是个体建构分数概念的经验基础[25]．在没有掌握分割计数之前，儿童就已经能够基于直觉判断相对量的大小，因此，儿童完全有可能在没有掌握部分整体含义的条件下，掌握比的含义．

从小学分数概念教学来看，研究结果有助于为解答下列教学问题提供启发．

第一，对于全体学生来说，分数概念教学的难点是什么？研究结果中，掌握良好组和掌握不良组被试均难于理解的认知成分，可能构成了小学儿童分数概念语义理解的难点．具体包括（1）部分量与整体量间的包含与补偿关系，（2）比例是一个相对大小（比例推理），（3）算子的连续变换．可以看出，这些都涉及特定问题情境中两个量之间复杂关系．掌握这些关系，是全体小学儿童分数概念学习的难点．

第二，掌握不良的学生究竟“差”在何处？对这部分学生的教学重点是什么？在研究结果中，那些掌握良好组儿童能够较好理解，而掌握不良组儿童却理解较差的认知成分，可能构成了分数概念掌握不良儿童的教学重点．具体包括，（1）测量含义中，分数的数形转换；（2）比含义中，用分数表示比例关系，比例关系的判别；（3）测量含义中，用分数表示变换关系．可以看出，这3组认知成分都是分数的表征转换任务，其共通之处是用分数表示两个特定量间的关系．这与范文贵等的调查结果相一致[26]．因此，用分数来表示特定问题情境中的两个量，是分数概念掌握不良的教学重点．

5 结论

（1）儿童对分数概念的5种语义含义的掌握水平，由高到低依次为商、部分—整体、测量、比、算子．

（2）儿童对部分—整体、测量、比、算子等4种语义含义的掌握模式，可以简单分为掌握良好和掌握不良两类．其中，在部分－整体和算子含义上，两组儿童掌握模式类似，而在测量和比含义上，两组儿童掌握模式有较大差异．

（3）不同语义含义的掌握模式分类存在一致性．其中，掌握良好组的归类一致性较高，而掌握不良组的归类一致性较低，即儿童对某种语义含义掌握良好时，对其它子概念也能掌握较好．但是在对某种语义掌握不良组的儿童未必在其它语义上也掌握不良．

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Pupil’s Master Level and Pattern for Understanding of Fraction’s Sematic Meaning: Based on Latent Class Analysis

ZHANG Huan1, 2, XIN Zi-qiang3, CHEN Ying-he4, HU Wei-ping1

(1. MOE Key Laboratory of Modern Teaching Technology, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China;2. School of Education Science, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China;3. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;4. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Fraction, an abstract symbol, had the different semantic meanings in different contests. In this study, the scale was administered to 295 six grade children and an exploratory latent class analysis was conducted to evaluate their master level and patterns for understanding of fraction’s sematic meaning. Result showed that: (1) in the five semantic meanings of fraction, the quotient meaning was mastered best and the operator meaning was mastered worst by children. (2) In the semantic meaning of part-whole, measure, ratio and operator, children were all defined in two classes, good-mastered group and poor-mastered group. The two groups had similar patterns in part-whole and operator meanings, but deferent patterns in ratio and measure meanings. (3) Coherence between the several sematic meanings of good-mastered group was higher than coherence of poor-mastered group.

concepts of fraction; understanding of semantic meaning; master pattern

2018–01–22

国家社科基金重大项目——中国儿童青少年思维发展数据库建设及其发展模式的分析研究（14ZDB160）

张睆（1979—），男，山西阳泉人，山西师范大学讲师，陕西师范大学博士生，主要从事认知发展与数学学习研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0066–06

张睆，辛自强，陈英和，等．小学儿童分数概念语义理解水平及模式：基于潜在类别分析[J]．数学教育学报，2018，27（3）：66-71．

[责任编校：周学智]