何声清



六年级学生对高阶概率内容的认知：潜能与局限

何声清

（北京师范大学 教育学部，北京 100875）

以64名六年级学生为被试，考察其在直观图示下对高阶概率内容的认知．结果表明，学生在“理论计算”任务上的表现差强人意，暴露出两类典型错误；“理论计算”能力是“数量估计”的先决条件，但对随机性的认知在此过程中也不可或缺；学生的概率直觉在“数量估计”任务中扮演着重要角色．对概率教学的启示和建议有：学生高阶概率内容认知的潜能与局限并存；教学应呵护学生的概率直觉，可通过计算机等直观模拟技术渗透概率思维．

六年级；概率认知；直观图示；条件概率；积事件概率

1 研究缘起

概率素养（probability literacy）是大数据时代社会公民必备的数学素养[1]．自20世纪末开始，概率内容相继被各国引进中小学数学课程标准（如AEC[2]、NCTM[3]）．中国2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》也首次将其纳入义务教育阶段的数学课程[4]．按照Jones等人在“中小学儿童概率思维发展框架”中的划分[5]，中国当前义务教育阶段的概率内容主要涉及到随机性、概率比较、概率计算、样本空间等子概念．值得注意的是，数学课程对该框架中提及的条件概率并未涉及，这是基本合理的：已有研究一再证实条件概率对于中小学生而言难度较大[6-7]．

条件概率与积事件概率有着千丝万缕的联系：条件概率是指事件A（(A)＞0）发生的条件下事件B发生的概率，记为(B|A)=(B∩A)/(A)．这其中的(B∩A)即为积事件概率，是指A与B同时发生的概率，记为(B∩A)=(B|A)·(A)．特别地，当A、B独立时，(B∩A)=(B)·(A)．例如，一个盒子里有2个黑球和2个白球，先后各摸出1个球（不放回），摸出2个黑球的概率为：(第2次摸到黑球且第1次摸到黑球)=(第1次摸到黑球的基础上，第2次摸到黑球)·(第1次摸到黑球)=1/3·2/4=1/6，这属于A、B不独立的情况．再例如，甲、乙两个盒子里均有1个黑球和1个白球，同时从两个盒子里各摸出1个球，摸出2个黑球的概率为：(两个盒子都摸出黑球)=(从甲盒子摸出黑球)·(从乙盒子摸出黑球)=1/2·1/2=1/4，这属于A、B独立的情况．

对于义务教育阶段的学生而言，条件概率和积事件概率均属于高阶概率内容．但是，这并非意味着学生没有学习该知识的潜能．概率教与学研究领域的知名学者Borovcnik指出：在中小学渗透条件概率有其有益之处，然而当前国际数学教育界似乎并没有将其作为一项议题正式讨论[8]．他的研究还认为，学生对条件概率的认知困难与问题的情境设置有关，如果情境设计不恰当，他们容易诉诸因果思维来解释这类问题[8]．概率内容具有较强的情境性[9]．当前学界有关儿童概率认知研究的一个趋势是将教学环境（instructional settings）纳入考察变量：即不只是单纯地考察学生能够理解什么，还考察他们在特定的教学环境/干预下能够理解什么[10]．例如，新近研究对计算机模拟的直观表征下中学生概率概念的理解情况进行了考察，并显示学生在该环境下能够对概率有较好的理解[11]．Zhu等人的研究表明：若将问题情境加以合理表征，即使四~六年级学生亦具备学习条件概率的可能性[12]．该研究基于直观的任务设计，考察六年级学生对高阶概率内容（主要涉及条件概率和积事件概率）的认知，探查他们对该内容认知的潜能与局限，以期为概率课程及教学提供有益建议．

2 研究方法

2.1 被试

上海市某中学六年级的两个平行班共64名学生参与了该次测试，其中男生38人，女生26人．需要特别指出的是，上海的中小学学制是“5+4”模式，因此该研究中的六年级被试均来自中学．之所以选择六年级学生为被试，一方面是因为他们已经学习了分数，有一定的知识基础；另一方面，他们于六年级上学期已经学习过“等可能事件”等概率基础知识[13]（该测试是在六年级下学期进行的），知道了在等可能事件中概率的计算公式．此外，有研究表明：尽管没有接触较多正式的概率知识，低龄儿童对概率也有较好的直觉[14]．

2.2 任务设计

任务设计采用了Fischbein经典著作《儿童概率思维的直觉来源》（）中的部分案例[15]，此外新增了概率大小的数量估计任务．

测试共包含3个题目（后文用Q1~Q3表示），每一个题目均包含3个任务（后文用T1~T3表示）：T1考察学生对概率大小的定性判断（后文简称“定性判断”）．T2和T3均考察学生对概率大小的定量化认识，其中T2考察学生对理论概率值的计算（后文简称“理论计算”），T3考察学生对概率大小的数量估计（后文简称“数量估计”）．3个问题主要涉及积事件概率和条件概率的知识，其中Q3还涉及到简单的和事件概率知识．各任务除了要求学生给出作答以外，还要求他们写出作答的理由，用以深入了解其思维机制．所有题目的题干均为“如图所示，这里是一个有趣的游戏，图中每个管道都是粗细均匀且光滑的”．研究的目的并非考察学生对上述概念的精确表达和应用，而是旨在借助直观图示考察他们对这些高阶概率内容的认知情况．任务设计详见表1．

表1 任务设计

尽管T2和T3都涉及到概率的定量化认识，但两者尚存在如下区别：T2的答案可以通过理论分析而求得；T3的答案可以通过理论概率大致估计，但它一般不会恰好是理论值，而是接近理论值．从这个角度而言，T2是T3的前提：只有对理论概率有良好的认知，他们才能据此作出合理的估计．之所以设计“数量估计”任务，是基于如下两个假设：其一，虽然T2是T3的前提，但学生完成T3还需要具备对随机性的良好认知，并非掌握了T2就一定能在T3中有完美的表现．其二，条件概率、积事件概率等作为难度较大的高阶概率内容，六年级学生或许在“理论计算”上遇到困难，但他们在“数量估计”上可能有较大潜能——因为它削弱了计算，学生的概率直觉也在其中扮演着重要角色．

2.3 程序及编码

该测试由授课教师负责监考，确保了学生的作答纪律．所有学生均完成了测试，发放问卷64份，有效问卷64份．

依据学生的作答类型对其进行分类编码．

T1（“定性判断”）是由选择题组成，不涉及编码问题．

T2（“理论计算”）的所有编码如表2．

表2 学生在T2中的作答表现编码

T3（“数量估计”）的所有编码如表3．需要稍作解释的是：第6类作答在水平上是高于第5类的，因为后者过于绝对化——这恰恰说明其缺乏对随机性的认知，而前者给出的数值接近理论值但又顾及了随机因素．

表3 学生在T2中的作答表现编码

2.4 信度

以Cronbach’s系数为指标考察各题目的内部一致性．结果表明：该测试具有较高的同质性信度（=0.766）．

3 研究结果

3.1 学生在“定性判断”任务上的作答描述统计

对学生在T1上的作答表现进行统计．结果表明，学生在该任务上的作答表现良好，大都能够定性地判断各结果的概率相对大小，分别有85.9%、73.4%及84.4%的被试能够在Q1T1、Q2T1及Q3T1上判断正确．但依然值得注意的是，尚分别有17.2%及14.1%的被试在Q2T1和Q3T1中选择了“一样大”，而这个选项也是学生在该问题上的主要错误作答，后文将对此详细阐述．

3.2 学生在“理论计算”任务上的作答描述统计

对学生在T2上的作答表现进行统计，详见表4．结果表明，学生在Q1T2的作答正确率达到90%以上，而在Q2T2和Q3T2上的作答正确率则为50%~60%．从给出的解释来看，他们通常能够结合直观图示，想象球下滑的过程并对其在每个分岔口的可能走向进行分类讨论．例如，02号被试认为：因为球在第一个分口时，左右两边各有50%的概率，而在第二个分口，则还有50%的可能掉入左右两边，则第一次机（几）率为1/2，第二次左右掉入的机（几）率也为1/2，乘起来就是1/4．值得提及的是，该被试还在插图的每个分岔口处进行了标记，可见这是十分规范的策略．

表4 学生在T2的典型表现

注：鉴于Q1T2中各盒子接到球的理论概率本身即相等，作答中的类型3仅针对Q2T2和Q3T2．

3.3 学生在“数量估计”任务上的作答描述统计

对学生在T3上的作答表现进行统计，详见表5．结果表明，有10%~20%左右的学生能够给出研究者所希望看到的合理估计值，而50%~60%的学生则给出了理论值；有15%~20%的学生虽然给出了估计值，但偏离理论值太多；此外另有5%~10%的学生在Q2T3和Q3T3中给出了3个相等（或十分接近）的估计值，即表现出“等可能性偏见”．

表5 学生在T3的典型表现

注：鉴于Q1T3中各盒子接到球的理论概率本身即相等，不存在某一个盒子接到球概率更大的情况，作答中的类型2和类型4仅针对Q2T3和Q3T3．

4 结论与讨论

4.1 学生在“理论计算”任务上表现差强人意但暴露出两类典型错误

对于六年级学生而言，他们在“理论计算”任务上的作答表现差强人意．但在Q2T2与Q3T2的作答中则遇到了困难，具体表现出两类典型错误．

第一类错误是“等可能性偏见”．Lecoutre在他的研究中将“等可能性偏见”定义为：在进行随机试验时，人们总是倾向于认为各结果出现的可能性是相等的[16]．例如，从一个装有2个黑球和2个白球的盒子里同时摸出2个球，理论上摸出“1个黑球和1个白球”的概率大于“2个白球”．然而当人们没有顾及到“1个黑球和1个白球”实际上包含了4种基本组合方式，他们倾向于认为两者的可能性是相等的．李俊在他的研究中则进一步指出[17]：一般意义上的“等可能性偏见”是指“人们总是基于‘50—50’（‘一半一半’）的思维模式而认为随机试验所有可能结果的概率均为1/2”，然而另一种“等可能性偏见”则表现为“他们根据自己所能够列举的所有可能结果的个数（），断定这些结果的概率均为1/”．“等可能性偏见”在人们的概率认知中十分顽固且难以消除[16]，并且已有研究一再证实人们的这种错误认知在不同任务情境中广泛存在[18-20]．这在研究中再度得到证实．Q2T2和Q3T2中均有15.6%的被试给出了“3个盒子接到球的概率均为1/3”的答案，这正是李俊的研究中所提及的后一类“等可能性偏见”．这表明，学生没有从理论概率的计算出发，没有顾及到在第一个分岔口时球落到盒子C的概率是50%，而是一味地认为“所有的结果概率相等”．例如，52号被试在Q2T2中给出的解释为“3条道路，每一条道相同，每一个盒子只有一个管道，所以可能性相同”．可见，该被试没有考虑球在每个分岔口处不同走向的概率大小，而是将“3”个盒子（管道）和“1”个球建立不当联系，错误地认为每个盒子接到球的概率均为1/3．再例如，11号被试在Q3T2中的解释是“1个球在中间，（球落到每个盒子里）都有可能”．可见，该被试一方面仅考虑到游戏装置的对称性以及所关涉的对象——“1”个球和“3”个盒子，而没有对球下滑的过程进行分类讨论；另一方面，该被试错误地将“都有可能”与“可能性大小相等”建立联系，其潜台词或许是“既然都有可能，那么可能性大小相等”．

第二类错误表现为：他们能够判断出3个盒子接到球的概率相对大小（例如，Q2T2中A、B、C三个盒子接到球的概率之比为1:1:2），但给出的概率有误．从表4可知，尤其在Q3T2中，出现该类错误的学生百分比甚至高于“等可能性偏见”的百分比．需要指出的是，在该类错误作答中，学生给出的具体概率则千差万别．例如，被试35在Q2T2中给出的答案是“A盒子1/3，B盒子1/3，C盒子2/3”，他给出的解释是“因为A、B两个盒子上面一部分连在一起（因而均分了接到球的概率），而C盒子的管道是单独的”．可见，该被试能够大概理解C盒子接到球的概率为A、B两个盒子接到球的概率之和．换言之，他意识到球在经过第一个分岔口时有两种可能的走向：一种是滑向C盒子，一种是滑向A盒子或B盒子．但遗憾的是，他没有根据球的下滑过程准确计算其落到3个盒子里的概率，而仅给出了一个模糊的答案．再例如，40号被试在Q3T2中给出的答案是“A盒子1/3，B盒子2/3，C盒子1/3”，其理由是“因为B盒子有两个管道连着它，掉下去的可能性更大”；而02号被试在该问题上给出的答案是“A盒子1/8，B盒子1/4，C盒子1/8”，其理由是“因为无论球在左边还是右边，都有机（几）率进入B盒，而A和C则没有”．可见，尽管这类被试能够粗略地感受到球落入B盒子的概率更大，且理论上而言其概率为球落到A、C盒子的概率之和，但他们在概率的计算上没有找到可靠的方法．

4.2 “理论计算”能力是“数量估计”的先决条件但对随机性的认知在此过程中也不可或缺

在3个题目中，学生在Q1T3中给出合理估计值（类型6）的百分比最高．具体而言，分别有15名、8名及10名被试在Q1T3、Q2T3及Q3T3中给出了合理估计值，而分别有100%、75%及70%的上述被试在各个题目的T2中作答正确．换言之，在T3中给出合理估计值的学生，大都发展了“理论计算”的能力．例如，13号被试给出的估计值是“A盒子23个，B盒子24个，C盒子25个，D盒子28个”，他给出的理由是“因为我认为可能性都是1/4，但也不可能都一样，（所以我觉得）都是25左右”；15号被试给出的估计值是“A盒子27个，B盒子24个，C盒子23个，D盒子26个”，他给出的理由是“因为球有机率的落在这4个盒子里，100个球等分在4个盒子里的机率很小”；23号被试给出的理由则更加直白有趣，“因为（理论上）可能性每个都一样，但如果真的一样了，那是奇迹”．可见，“理论计算”是学生进行“数量估计”的先决条件，对随机性的良好认知也是他们做出最佳估计的必备要素．

学生在Q2T3和Q3T3中给出合理估计值的百分比相对较低，分别为12.5%和15.6%．从给出的解释来看，基本和Q1T3类似，学生一般是在“理论计算”的基础上进而做出合理估计的．例如，13号被试在Q2T3中给出的估计值是“A盒子22个，B盒子24个，C盒子54个”，他给出的理由是“我认为A、B两盒可能性都是1/4，而C盒为1/2，所以A、B两盒在25左右，C盒在50左右”．再例如，03号被试在Q2T3中给出的估计值是“A盒子25个左右，B盒子25个左右，C盒子50个左右”，她给出的理由是“第一个支管把100个球分成了两堆50个左右，第一条支管下有A、B两支管便把50个分成了（两堆）25个左右，第二条支管只有C盒，所以C盒是50个左右”．

如前所述，在“数量估计”任务中表现好的学生，大都发展了“理论计算”的能力．但这并不意味着对“理论计算”有良好认知的学生，都能够在“数量估计”任务中有良好的表现——因为除了“理论计算”以外，学生还需要对随机性有良好的认知．为了更深刻地说明这一点，有针对性地选定在T2中作答正确的被试进行深入考察，统计了其在T3中的作答分布（仅讨论“给出合理估计值”和“给出理论值”这两种表现），详见表6．结果表明：在T2中作答正确的学生群体中，大致有20%的被试能够在“数量估计”任务中给出合理的估计值，而有65%的被试则仅能给出理论值．

表6 T2中作答正确的被试在T3中的作答分布

4.3 学生的概率直觉在“数量估计”任务中扮演着重要角色

并非所有在T2中作答错误的被试在T3中均表现不佳．学生之所以能够给出合理的估计值，这并非全然说明他们具备了对“理论计算”的良好认知——他们的概率直觉也扮演着重要角色．换言之，他们并非都是基于“理论计算”而给出合理估计值的，也有可能是凭借良好的概率直觉作出估计，而这种直觉也是十分重要的．为了说明这一点，针对性地选定在T2中作答错误的被试进行深入考察，统计了其在T3中的作答分布（仅讨论“给出合理估计值”和“给出理论值”这两种表现），详见表7．结果表明：在T2中作答错误的学生群体中，有些被试能够在T3中给出合理估计值，即便不能给出合理估计值，尚有相当部分的被试能够给出理论值．从这个角度而言，虽然有些学生在“理论计算”任务中表现不佳，但他们往往能够在“数量估计”任务中表现尚可．这说明，对于高阶概率内容，学生可能在“理论计算”上存在困难，但他们往往保有对概率的良好直觉，对“数量估计”有较好的潜能．这也证实了最初的假设．

表7 T2中作答错误的被试在T3中的作答分布

5 启示与建议

5.1 六年级学生高阶概率内容认知的潜能与局限并存

六年级学生在“理论计算”任务上表现差强人意，尤其在Q1T2中的正确率高达90%以上．从作答的策略来看，部分学生能够结合图示想象球下滑的过程并对每个分岔口时球的可能走向进行分类讨论．六年级学生在“数量估计”任务上的表现也是可圈可点的．以Q2T3和Q3T3为例，如果把类型5的作答也视为一种高水平作答，则分别有73.4%和65.6%的被试基本能够较好地进行概率的“数量估计”．而学生在Q2T2和Q3T2中的正确率分别仅为51.6%和57.8%，这意味学生在“数量估计”任务中的表现甚至优于“理论计算”任务．这也说明，学生在“数量估计”任务上较“理论计算”任务有更好的认知潜能．

当然，还应该看到学生在高阶概率任务中表现出的认知局限．第一类局限可以概括为“等可能性偏见”．以Q2T2和Q3T2为例，在“理论计算”任务中，不少学生仅从球的个数“1”和盒子的个数“3”出发，没有顾及球在管道中下滑时进入不同盒子的相对概率有所不同，进而表现出“等可能性偏见”．这部分学生没有认识到积事件概率计算的“过程性”，而是模糊地认为“球的个数除以盒子的个数即为每个盒子接到球的概率”．在“数量估计”任务中，学生的作答也表现出上述“等可能性偏见”，但是其百分比相较T2而言则明显较低．具体而言，分别也有15.6%和6.3%的学生在Q2T2和Q2T3中表现出“等可能性偏见”，分别有15.6%和10.9%的学生在Q3T2和Q3T3中表现出“等可能性偏见”．第二类局限可以概括为“随机性认知的缺失”．在“数量估计”任务中，多数学生仅给出理论值，这说明他们尽管具备了“理论计算”的能力，但对随机性的认知尚且不足，倾向于基于绝对化、确定性的思维方式解释概率问题．换言之，虽然随机试验的特征是一次试验结果的不确定性和大量重复试验结果的稳定性，但这里的稳定性不等于绝对性．

5.2 教学应呵护学生的概率直觉可通过计算机等直观模拟技术渗透概率思维

中小学数学课程尚未涉及高阶概率内容．研究者当然不主张过早地将这些内容纳入中小学数学课程，但在直观图示下的数学任务中，六年级学生对这些内容的认知有一定潜能，在解答策略上也有令人欣喜之处．学生在“数量估计”任务的作答体现出了其概率认知的局限性——他们难于意识到100个球下滑时进入各个盒子的个数不大可能恰好是理论值，而这也恰恰反映了他们对随机性认知的不足．这是否值得研究者深思：如何在培养学生数学理性精神和严谨思维的同时，呵护他们对随机性的良好直觉？

从直观任务的设计来看，研究所采纳的直观图示不妨一试．当然，如果借助计算机模拟的直观动画呈现球下滑的动态过程或许有更好的效果．而如果这样的话，或许对学生在T3上的作答也大有裨益．

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Sixth Graders’ Cognition of High-Level Probability: Potential and Limitations

HE Sheng-qing

(Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This study selected 64 sixth graders as the subjects and explored their understanding of high-level probability in schema-based tasks. The results showed that, sixth graders’ performance on calculation of theoretical probability were basically good but they also exhibited two typical erroneous cognition; their ability on calculation of theoretical probability was the prerequisite of probability evaluation but it their cognition of randomness was still necessary during this process; their probability intuition played important role in finishing probability calculation tasks. Implications and suggestions for mathematics education were: students’ cognition of high-level probability in schema-based tasks exhibited some potentials accompanied with limitations; teachers should respect students’ probability intuition and protect their good cognition of randomness, and cultivate their probability thinking by technology and other vivid ways.

6thgraders; probability cognition; schema-based tasks; conditional probability

2018–02–10

北京师范大学未来教育高精尖创新中心项目——中学数学学科诊断分析工具开发与应用研究（BJAICFE2016SR-008）

何声清（1988—），男，安徽安庆人，博士生，主要从事数学教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0057–05

何声清．六年级学生对高阶概率内容的认知：潜能与局限[J]．数学教育学报，2018，27（3）：57-61．

[责任编校：周学智]