刘春艳



理解试题内涵 把好教学方向——从一道北京中考试题说起

刘春艳

（北京教育学院 数学系，北京 100120）

中高考改革在目前的教育改革中备受关注，考试试题变化会直接影响学校课堂教学．正确发挥考试的导向作用，真正理解试题是关键．以2013年一道北京中考压轴题为例，解析试题的命制过程，分析考生作答情况，给出教学建议：认真分析课标教材，将“认知过程”落实到教学中；充分关注概念学习，用“结构体系”串联章节知识；真正理解能力立意，将“能力分解”进行整体设计．

中考试题；能力立意；认知过程；概念学习

目前，新课程背景下的又一轮中高考改革正在逐步展开，这次改革更聚焦考试科目的选择和考试内容的改革．一方面，通过考试科目的选择能甄别出考生的兴趣特长，为学生规划自己的人生发展方向提供坐标；另一方面，通过考试内容引导教学、服务教学，使教师更关注学科本质和内在价值、更注重学生能力的培养．简言之，就是要将现在的中高考从“指挥棒”功能，转变为“服务器”功能，为教学服务,为学生的成长发展服务．

一线教师非常重视考试题的变化，但他们往往只关注变化的形式，而对变化的实质缺乏应有的分析，由此导致了教学的偏差．在“以考定教”的现实下，理解命题的立意和试题的内涵，毋庸置疑是充分发挥中高考试题的导向作用，让考试助力教学改革的一个关键问题．北京近年中考数学最后一题有很大的变化，受到广泛关注，也对一线教学产生一定的影响．如2013年中考的最后一题，受到各方面的好评，且在各种考试中被多次改编．但是作者在教师培训中发现，一线教师对此题的理解存在很多问题，因此，以该题为例，从试题命制的角度分析题目的内涵，并结合考生解答情况所反应出的问题，给出一些教学建议．

（1）当⊙的半径为1时．

①在点、、中，⊙的关联点是_________；

（2）若线段上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围．

1 试题的命制

下面从试题的立意、情境和设问3个方面进行分析．

1.1 试题的立意

能力立意是目前中高考命题的原则，也就是要将能力考查置于命题的核心位置．该题作为北京中考最后一题，重点考查考生的数学抽象概括能力和逻辑推理能力，也就是要求考生会对问题或者已有信息进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，同时要求考生会利用数学的符号语言，准确、清晰、有条理地进行表达．在实际操作中，命题者一般将抽象概括能力和推理论证能力整合为逻辑思维能力[1]．

1.2 情境的设置

为了实现上述考查目的，该题以平面直角坐标系、一次函数、锐角三角函数、特殊三角形、以及圆的相关内容为素材，设置新情境，并以新定义的形式呈现题干．这样，就将抽象概括能力和逻辑推理能力的考查融入到解决问题的过程中，具体体现在将上述初中数学的主干知识迁移到不同情境中，由此可以检测考生思维的深度、广度和灵活度，并能在一定程度上反映出学习潜能[2]．

该题中的“关联点”是以数学符号语言的形式直接给出的，在解题中，需要等价转化为图形中的位置关系．对于这个定义首先要明白“存在”的含义是“有”，可以“不唯一”；其次在寻找点和点的过程中，需要将这两个点看作圆上的动点，∠的大小随着点和点的变化而变化，因为点和点是在圆上变化，所以∠的大小是有范围的．在分析∠取值范围时，需要对点的位置分3种情况讨论，即点在圆内、在圆上和在圆外．最后要分析每种情况中60°是否在∠的取值范围内？若使∠=60°，那么点和点的位置有什么特殊要求？进而得到一个圆的所有关联点在半径为其2倍的同心圆上和圆内，反过来，同心圆上和圆内的所有点都是该圆的关联点．在理解新定义的过程中，需要观察、比较、归纳、类比，并充分利用一般到特殊、特殊到一般等推理形式，从背景中逐步抽象概括出新定义的结构特征[3]．

1.3 设问的形式

试题最后要通过设问的形式来呈现，不同的设问形式直接影响题目的难度．该题选择了一题多问的形式．第一问又分为两小问，第一小问是填空形式的判断题，判断具体的点是否是定圆的关联点．每一个判断对象都是一类元素的代表，形式熟悉，只判断不用书写证明过程，起点低．第二小问是求解形式，关键是明白一个定圆的所有关联点的位置，考查对新定义本质特征是否理解，承上启下，具有一定难度．第二问也是求解形式，对于具体的关联点寻找满足条件的圆的半径的最值，也就是从反面考查对新定义的理解．

题目层层设问，由正到反，由静到动，由浅到深，也是为理解新定义逐步搭设台阶，为不同水平的考生提供展示的平台．

2 考生解答情况

全市有84 540名考生作答，该题满分8分，平均分0.90分，难度0.11，区分度0.19．难度曲线如图1所示，文中所有数据均来自《中考数学分析报告（命题研究版）》北京教育考试院2013年7月．

图1 难度曲线

作为压轴题，对于高分段的学生的确起到了很好的区分作用，但是总体上，考生的得分情况并不理想，该题只有215名考生得满分．具体得分情况如表1所示．

表1 具体得分情况

由统计数据，此题39%的考生得0分，这些考生中有两千多考生的数学总成绩超过100分；有47%的考生此题得1分，而这些考生全卷平均分已经超过90分．基于数据分析，结合阅卷和部分师生访谈情况，具体分析此题在解答过程中存在的问题如下．

2.1 直接放弃作答

一是由于考生不能读懂题意，无从下手，有的考生直接放弃解答得0分；由于此问是填空形式的判断题，因此有的考生采取“猜”的办法直接判断3个点都是关联点，根据得分标准可以得1分．

二是有些考生根本没有看题就放弃解答，理由是作为新情境的压轴题肯定难．有些教学水平中等或者较差的学校，教师在备考中就明确告诉学生：试卷最后几道题太难，是给高水平学生做的，与你们无关．还有很多教师和考生都觉得新情境的题目在日常教学中根本不可能涉及，更无法通过反复练习来习得，所以对于此类题目不要浪费时间和精力．此题得0分的考生中绝大多数是这种情况．

2.2 不能正确理解题意

一是不能正确理解新定义中的数学符号语言．有些考生错误地认为“存在”是“有”而且“唯一”的意思，导致对新定义的理解出现偏差，而新定义是该题的核心，因此该题解答错误．

二是不能理解题目各问之间的逻辑关系．题目的第（1）问中①是对于具体的、特殊的例子进行判断，每个例子作为一类元素的代表，其判断方法具有一定的代表性．在后面的问题解答中，最关键的一步是需要考生将这些具体的、特殊的例子推广至一般，也就将每一类情况分析清楚，进而得到一个圆的所有关联点．第（1）问是利用新定义从正面、静态的角度来研究问题，第（2）问是利用新定义从反面、动态的角度研究问题．前面的问题是为后面的问题作铺垫的，很多考生没有体会到整个题目的内在逻辑关系，缺少主动推广的意识和能力，导致后续解答出现困难．

2.3 逻辑推理不严谨

一是对于第（1）问中①，考生凭几何直观很快就得到答案．由于此问不需要书写理由，很多考生都没有从逻辑上进行严格的证明，对新定义的理解就可能出现问题．不要求书写过程并不是不需要思考，这里就暴露了考生思维不严谨．

二是很多考生能正确得到一个圆的所有关联点，求解问题直接给出结论，没有推理过程．考生在第（2）问求圆半径的取值范围时，很多考生也是只有结论没有推理过程．

三是书写过程不严谨，考生的数学符号化表征能力比较薄弱，不能用严谨规范的数学符号语言清晰准确地表达逻辑关系．比如最后一问中，不等式中符号是大于还是大于等于，前后表达比较混乱，这也说明考生思维不够严谨．

3 教学建议

在对教师的访谈中发现，绝大多数教师认为此题难的原因是“新”，没有见过的题目自然就是难题．在一所基础比较薄弱的市区初中校调研时，请8位教师现场作答，只有一位教师答案完全正确，两位教师表示此题自己也不会做．教师对试题的理解必然会影响到相关内容的教学，不少学校因此增加大量的此类题型练习，加重了学生的课业负担，这是与命题者的初衷相背离的．为此，从关注课标和教材，处理好知识与认知过程、章节结构体系以及能力培养之间的关系等方面给出一些教学建议．

（1）认真分析课标教材，将“认知过程”落实到教学中．

所有考试都会明确设定考核范围．以北京中考考试说明为例，明确提出：“数学学科考试以教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》的‘课程目标’与‘课程内容’的规定为考试范围．”历年考试中，很多考查基础知识和基本技能的基础性题目直接来源于教材，甚至区分较高水平考生的难题的素材和背景也来源于教材，是对教材内容的再思考，北京这道中考题就是一个例子．

该题与圆的内容密切相关，圆心角和圆周角的内容是圆的主要性质．在教材中，对于∠，点和点在圆上，点运动到圆心和圆周这两个特殊位置得到圆心角和圆周角，通过分类讨论，利用圆的对称性得到圆周角定理．对于这部分内容可以进一步思考，当点运动到圆内其它位置或者圆外，∠的大小有什么变化？反过来，当点固定，点和点在圆上运动时，∠的大小有什么变化？∠有可能是60°吗？当点在什么位置时，∠＝60°的情况一定存在？这也就是北京中考题的关联点的背景．

对于圆心角和圆周角的学习，从定性的角度来看，两者之间的位置关系是一个角的顶点在运动过程中的两种不同的特殊情况，从定量的角度来看，两者之间的数量关系就得到圆周定理．利用运动变化、变与不变的辩证关系来分析，圆心角与圆周角的内在联系也是圆的对称性的体现．利用圆的对称性，在研究⊙的关联点范围时，也只需要研究点在轴上的变化情况．因此，无论是背景来源，还是研究方法，考试题目与教学相关内容一脉相承．

另外，该题涉及平面直角坐标系、圆、锐角三角函数、一次函数等内容，都是初中数学主干知识，考核的认知层次的要求与课标中的要求是一致的．有的老师认为该题考查了直线与圆的相关内容，所以拔高了相关内容的认知要求，提高了相关内容练习题的难度，甚至将高中解析几何内容下放到初中，这种观点显然是不对的．

在日常教学中，首先要处理好课标、教材与考试之间的关系．课标是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，教材是课标的具体化，因此认真研究课标和教材是教学的出发点[4]．其次，对于具体的数学知识，要强调对数学本质的理解，注重知识的来龙去脉，明确知识之间的内在联系[5]．最后，要认真分析具体知识的考核要求，不能盲目提高认知要求，加重学生学习负担．对于具体知识认知过程的正确理解是教学目标制定的基础，也是教学目标达成的判断标准．

（2）充分关注概念学习，用“结构体系”串联章节知识．

在数学学习中，概念学习是一个非常重要的内容．在日常的概念教学中，常常是概念形成与概念同化两种方式结合使用，一般需要经历这样几个过程：教师提供具体典型的案例，引导学生观察归纳共同特征得到概念的定义；再指导学生通过对正例和反例的比较、分析和概括等思维活动，明确概念的关键属性；最后学生通过应用概念，将新概念纳入已有的知识体系中，形成概念系统[6]．

该题是利用数学的符号语言直接给出关联点的定义，定义中通过数量关系和位置关系描述了点与圆之间的联系，需要学生充分利用已有的认知基础，体会定义的关键属性．该题的第（1）问中的①，就是通过典型正例和反例帮助学生进一步理解定义，通过对多个特例（包括正例和反例）的图形进行观察、比较、分析，归纳概括得到定义的本质特征，也就是将定义归结为“到圆心的距离小于等于直径的点就是该圆的关联点”．接下来就是利用关联点的定义来解决问题．

而学生在解题过程中，通过阅读，利用已有认知结构中的有关知识来理解新定义的过程就是概念同化的过程，逐步解答各问的过程与数学概念学习的过程大致相同．

在课堂教学中，教师对于具体的知识（如定义、定理和公式等）和技能（如计算、画图等）是非常关注的，但是对于研究问题的方法和知识之间的内在联系缺少思考．以三角形内容为例，从具体事例中抽象出基本图形，给出三角形定义及其符号表示，明确构成要素，以要素为标准对三角形进行分类；研究三角形的基本性质，也就是研究三角形构成要素及相关要素之间的关系；研究三角形的全等与相似；特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质与判定等．在整个过程中始终注重与相关知识的联系和应用，按照“定义、表示—划分—性质—特例—联系与应用”，从定性到定量展开研究的[7]．平面几何的内容，如四边形、圆等都是按照这个逻辑体系展开的，该题的大致结构也是类似的．

因此，该题一方面考查了数学概念学习的基本过程和基本方法，另一方面也考查了研究几何对象的基本结构．不仅仅要求学生通过概念解决一个具体的问题，更要求学生能够建立知识、概念间的深层次的联系，形成对学科整体的认识和体会，把握学科的整体意义和整体结构．在日常教学中，要从整体上进行教学设计，既要注重概念学习，又要注重学科的结构体系，通过凸显数学的内在逻辑关系，才能将各个章节紧密联系在一起，学生只有真正理解这些内容之间联系，才能更有序更有逻辑地去研究新内容．

（3）真正理解能力立意，将“能力分解”进行整体设计．

由前面的数据可知，数学成绩九十多分甚至一百多分的考生此题只得0分和1分，这些学生对于基础知识和基本技能的掌握程度还是比较好的，但是无法迁移到新情境中，暴露了能力培养方面的问题．

命题中能力立意的核心，主要是考查思维能力、学习潜能、创新意识和实践能力[8]．为区分简单记忆与理解掌握，考查能力的试题大多具有立意新、情景新、设问新的特点，考生解决问题的过程就是展现数学能力的过程[9]．该题要求考生通过对特例的合情推理，探索思路，发现结论，再利用演绎推理证明一般性的结论．在这个过程中需要反复观察、实验、计算、归纳、概括来揭示新定义的内涵，要求学生具备较高的抽象概括能力和逻辑推理能力[10]．读懂题意要求学生具备一定的数学阅读能力，而正确解答要求学生具备一定数学符号语言的表达能力．

能力是指一个人完成某种活动所必备的比较稳定的个性心理特征．能力作为活动的稳定调节结构是在获得知识、智力技能与操作技能的基础上，通过广泛迁移、不断概括化、系统化及类化而实现的，能力的形成过程比知识技能的形成过程更复杂、需要的时间更长，因此教师要认真分析能力的内涵，逐步有计划地培养[11]．

以推理论证能力中的合情推理为例．合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，这里就存在“什么是已有的事实”“如何归纳和类比”等问题[12]．在培养学生合情推理能力的教学中，首先要让学生明白，对于一般情况具有的某个性质，特殊情况也具有，因此从特殊情况的性质去推测一般情况是否具有同样的性质是可行的，但是反过来特殊情况具有的性质一般情况未必具有；其次教师要通过具体情境进行示范——什么样的问题可以从特殊情况入手？什么是特殊情况？如何分析特殊情况？如何将特殊情况的性质推广至一般？或者由一类问题的性质类比得到另一类问题的相似性质？

比如，前面提到的圆周角定理的探究过程就是培养合情推理能力的很好载体．在教学中，请学生思考“圆心角与圆周角大小关系”，如果学生无从下手，可以启发学生，以前研究新问题时一般采取什么方法？是否可以类比以前研究的方法？逐步引导学生，从特殊情况（如是直径时）入手，猜测圆周角与圆心角的数量关系再进行证明．证明过程中，发现两个角的位置关系比较复杂，先从最简单也是最特殊情况（即圆心在圆周角的一边上）开始证明，反思证明中的关键环节，将证明方法推广至一般．这样的示范要反复多次，每次要有侧重；然后教师要引导学生去实践，启发学生回顾教师的示范过程，让学生提出解决问题的方案并进行实际操作[13]．当学生能有意识去思考时，教师再创设新情境让学生独自经历合情推理的全过程．

学生从“无意识”地解题，到“有意识”地主动思考，再到“有能力”独自解决问题，需要一个长期、不断反复的过程．很多时候，学生在听教师讲解时并不觉得特别晦涩难懂，但是自己独立面对问题时总是想不到，就是缺少主动思考的意识和能力[14]．很多老师通过考前的题海训练来培养学生的思维能力，显然是不可取的．在具体教学中，教师要将学生数学能力的形成过程进行分解，始终将能力培养作为课堂教学的一条主线，根据教学内容和学生情况进行整体设计，并且有意识有计划有步骤地进行实施[15]．能力一旦形成会具有较好的稳定性，如果学生真的具有合情推理的意识和能力，在面对新情境的问题时就会有章可循．

分析每一年中高考试题中的新变化，目的是为了更好地服务于日常教学．这种服务不仅仅体现在课堂教学中又多了一份题目的素材，更重要的是对试题立意的剖析来反思日常教学的问题．以上通过对北京市2013年中考数学压轴题的分析可以得出，日常教学不仅要关注知识、还要关注知识间的联系、更要关注知识形成过程中的能力培养，要为学生的数学发展进行整体设计并有效实施．

[1] 任子朝，周远方，陈昂，等．高考数学科考核目标研究[J]．数学通报，2013，52（7）：1-8．

[2] 任子朝．能力立意命题的理论与实践[J]．数学通报，2008，47（1）：24-28，32．

[3] 陈昂，任子朝．数学高考中实践应用能力考查研究[J]．数学教育学报，2017，26（3）：15-18．

[4] 刘春艳．数学高考改革的“能力立意”：基于高考试题变化的解析[J]．中小学管理，2017（9）：11-13．

[5] 王光明，刁颖．高效数学学习的心理特征研究[J]．数学教育学报，2009，18（5）：51-56．

[6] 曹才翰，章建跃．数学教育心理学[M]．3版．北京：北京师范大学出版社，2014：112-117．

[7] 章建跃，陈向兰．数学教育之取势明道优术[J]．数学通报，2014，53（10）：1-7，封底．

[8] 赵思林，翁凯庆．高考数学命题“能力立意”的问题与对策[J]．数学教育学报，2013，22（4）：85-89．

[9] ANDERSON L W．布鲁姆教育目标分类学[M]．修订版．蒋小平，译．北京：外语教学与研究出版社，2011：51-52．

[10] 刘春艳．以“考改”促“课改”：北京高考题目变化的目标与取向[J]．中小学管理，2016（1）：14-16．

[11] 喻平．数学核心素养评价的一个框架[J]．数学教育学报，2017，26（2）：19-23，59．

[12] 李兴贵，王新民．数学归纳推理的基本内涵及认知过程分析[J]．数学教育学报，2016，25（1）：89-93．

[13] 王光明，刘丹．初中生数学学习策略调查问卷的设计与编制[J]．数学教育学报，2017，26（3）：19-24．

[14] 严虹，游泰杰，吕传汉．对数学教学中“教思考 教体验 教表达”的认识与思考[J]．数学教育学报，2017，26（5）：26-30．

[15] 张惠英，王瑞霖．基于核心素养的数学测评研究——以河北省2017年中考数学试题为例[J]．数学教育学报，2017，26（5）：31-35．

Comprehending the Connotation of Test Questions and Steering School Teaching in the Right Direction——Talking about a Beijing Senior High School Entrance Examination Question

LIU Chun-yan

(Mathematical Department, Beijing Institute of Education, Beijing 100120, China)

Among current educational reforms, the reform on senior high school and college entrance examinations attracted extensive attention, and variations on exam questions could affect school classroom teaching directly. In order to enable exams to play their guiding role correctly, it was crucial to have a true understanding of test questions. This article took the finale question of a recent Beijing Senior High School Entrance Examination as an example to dissect its proposing process, analyze examinees’ answers, and gave the following teaching suggestions: paying close attention to the cognitive process of knowledge learning, connecting textbook chapters and sections by certain structural system, decomposing the ability objective, and implementing all the aforementioned measures gradually in everyday teaching.

the Senior High School Entrance Examination; ability orientation; the cognitive process of knowledge learning; concept learning

2018–01–02

北京教育学院重大课题——中高考改革背景下的数学教师专业发展策略研究（JYZD201510）

刘春艳（1972—），女，吉林长春人，副教授，主要从事数学教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0035–04

刘春艳．理解试题内涵 把好教学方向——从一道北京中考试题说起[J]．数学教育学报，2018，27（3）：35-38．

[责任编校：周学智]