唐恒钧，HAZEL TAN，徐元根，张维忠



基于问题链的中学数学有效教学研究——一项课例研究的启示

唐恒钧1，HAZEL TAN2，徐元根1，张维忠1

（1．浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004；2．莫纳什大学，澳大利 亚墨尔本 3800）

以问题解决数学观为依据，提出基于问题链的数学教学理念．课例研究中，新手教师与专家教师整体上体现了该理念，通过问题链为学生提供逐渐深入的数学理解和一定的探索空间．在数学主题联结上分别表现出知识关联与方法关联两种类型，并对整个教学产生影响．问题链教学受到课时的限制较为明显，这需要单元设计等方式加以进一步解决．

数学问题链；有效教学；课例研究

中国学生在PISA、数学奥林匹克竞赛上的卓越表现引起了人们的广泛关注，但在解决富有挑战性数学问题上的不足[1]，对数学价值的狭隘认识[2]等方面的问题也让人担忧．顾泠沅等基于实验与反思，提出中国数学课堂教学改革应取得的如教师主导取向的有意义接受学习与学生自主取向的探究学习等若干平衡[3]．

一些调查研究表明课堂教学的改变比数学课程改革慢许多，也困难许多[4-6]，高中阶段的教学改革更为艰难．因此，如何在现有教学传统与教师信念的基础上，推进教学改革，以更好地体现数学教学中各个对立面间的平衡？特别是，如何在归纳概括与逻辑推理的过程中体现数学变化中的不变性，如何实现教学设计和教师课堂指导基础上的学生探究学习？以“问题链”为载体的高中数学教学设计与实施方式也许能在一定程度上促进上述平衡．“问题链”是指在课堂上呈现给学生的、有序的主干问题串．

该研究是基于问题链设计与实施的一个数学课例研究，并采用新手教师与专家教师之间对比的方式，初步考察实施过程中新手教师（NT）与专家教师（ST）有何共性与差异，为进一步推进问题链教学提供线索．

1 数学问题链教学的基本理念

著名数学家P. R. Halmos曾指出，“问题是数学的心脏”[7]．朱德全对教学本质的哲学思考后指出，“人的发展促成问题解决，问题解决指向人的发展”，“问题是教师教学的心脏，是学生学习的心脏”[8]．一些研究也将数学问题作为数学教育改革与研究的一个重要抓手[9-13]．可见，无论是数学的发展，还是对教学而言，问题都有着非常重要的意义．当然，数学教学及其发展是一种文化实践，教学改革需要同时关注作为显性表现的教学行为及其背后隐性的教学观念．

1.1 关于数学的认识

Skemp认为对数学的不同认识决定了教师不同的教学方法[14]．Ernest把教师具有的数学观分为3种不同的类型：问题解决式的数学观、柏拉图主义的数学观、工具主义的数学观[15]．黄毅英等曾对中国大陆数学教师的调查发现，主要持柏拉图主义数学观，即把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科[16]．蔡金法等的研究也得到类似的结论[17]．

而数学问题链期望能为学生提供数学发展的脉络及其背后的数学方法论，因此更多地倾向于“问题解决式的数学观”．即数学是一种多样化的、连续不断地、由问题驱动的人类创造性活动，是刻画客观世界和可能世界数量关系与空间形式的模式．这种观念与教师原有观念可能会存在一定的冲突．为缓冲其中的观念矛盾，研究中强调数学观念中的以下几方面．

首先，数学是一种模式．数学教育中重要的不仅是作为模式的结果，还有模式的建构过程．前者是数学知识的传承，后者则帮助学生理解数学知识的来龙去脉及其合理性．

其次，学校数学是结构化、脉络化存在的．作为预设性的学校教育，其数学内容是经过筛选整理的，因此学校数学是在数学知识逻辑与学生认知逻辑基础上加以理性重构的．在教学过程中要体现知识之间、方法之间的关联，以体现数学建模过程及其背后的方法论原理．

1.2 关于数学教学的观念

基于学校中的数学是一种模式，并以结构化、脉络化的形式存在的，因此数学学习中并不是所有的新知识要当新知识来教．教学中展现数学知识、方法间的类比、转化极为重要，它也能使新知识的学习变得简单而有脉络．比如，指数函数、对数函数和幂函数等3个初等函数的教学中，将指数函数及其性质当成新知识学习，教学中放慢节奏让学生体会研究指数函数及其性质时的基本角度与方法，对数函数教学则可以作为例题教学，给学生更多的探索空间去归纳形成其定义及性质，而幂函数则作为练习，其教学需给学生以更大的自由探索空间．所以，在数学教学中拥有联系、转化的观点，用问题解决的方式教学新知识，教学节奏是先慢后快的，学生探索空间也是先小后大的．

上述教学观念不仅仅强调学生对已有知识及常规问题解决方法的传承，还强调展现如何针对问题选择数学知识与方法甚至建构新的数学知识与方法加以解决的过程，后者是需要学生自己亲自体验与习得的．比如，在学生学习高中圆锥曲线中的抛物线方程时，常规的教学方法是为学生建立好坐标系，并结合抛物线的概念求出抛物线的标准方程，然后再配以练习加以理解与巩固．这样的教学确实能使学生比较好地掌握抛物线的标准方程，并以此为基础解决相关的问题．但问题是，学生能理解这么建立坐标系的理由吗？因此，数学教学中要为学生提供个体探索与冷静思考的时间与空间，学生在教师所设计的主干问题的驱动下进行独立探索是问题链教学中非常重视的学习行为．

1.3 “数学问题链”及教学

“问题链”教学，一方面为学生提供思考的问题，在内容上可以引导学生获得较为深入的数学．而另一方面，问题与问题之间的跨度为学生多样的思维与探索提供了可能性．

在构建问题链的过程中，首先需要考察所教学的数学主题与其它主题之间的关联，并构思该数学主题的教学联结点．这里的关联包括知识内容、思想方法、研究视角等3个方面的关联形式．其次，思考该主题学习过程中需要解决的核心问题及其顺序．再次，进一步结合学生的学习实际，构建教学设计中的主干问题链，并在课堂上以这一问题链驱动学生的学习．

2 课例研究过程

参与研究的新手教师拥有数学教育硕士学位，实验进行时已有3年教学经验，而专家教师是´´省名师工程班学员，拥有高级职称，并曾获得省级教学比赛一等奖．

课例研究的主题为“抛物线及其标准方程”第一课时．但为了更好地突显研究意图，并减少教师在教学该内容时受原有教学经验的影响，将该内容的学习时间提前．具体地，新手教师的学生刚学过“曲线与方程”，而专家教师的学生还未学习“曲线与方程”这一内容．

在数据收集过程中，两节课都被录像并转译成文字，其它数据还包括授课教师的反思、研究者的田野笔记等．在数据分析的过程中，先提炼了课堂上的问题链，并结合课堂观察与课后反思提炼出每个问题的目的，并在此基础上对新手教师与专家教师的问题链及其目的进行对比；其次通过对问题链的时间线分析，提炼出两位教师教学重点及教学节奏的特点．

3 研究发现

新手教师与专家教师在教学设计和课堂上呈现的问题链及其目标如表1和表2所示．

表1 专家教师问题链及其目的

表2 新手教师问题链及其目的

3.1 抛物线与其它主题的关联

由表1和表2可以发现，专家教师以直线方程的建立过程为例，回顾解析几何中研究直线的方法以及从建系到求出直线方程的整个过程．新手教师则从“抛物线”这个主题词入手，激活新主题与二次函数图象之间的关联，并通过“抛物线除了开口方向、顶点、对称轴这些特征外，还有哪些特征？”引入新课．当然新手教师在Q3中也回顾了解析几何的研究方法，但仅作为一个子问题以引导学生思考抛物线方程的求法．

可见，当面对方法关联或知识关联的选择时，专家教师更会关注方法上的联系，并在整节课的实施过程中关注学生对方法的体验；而新手教师则更容易建立起知识间的关联，虽然也注重方法的联系，但更多地只是将这种联系作为方法应用的铺垫，而非方法本身．这里其实体现了两位教师不同的教学观点．即新手教师更多地是从多角度理解给定的主题，并建立不同角度之间的关联，其目的在于对该主题内容的深入学习；而专家教师则更重视作为某一数学领域的通法学习，其目的是通过更具普遍性的方法统整学习内容．也正是这一原因，专家教师由Q1至Q2的过渡更具有内在连贯性．

3.2 问题链中问题间的关系及其潜在逻辑

从两节课的一级问题及其关系来看，除了导入部分的差异之外，体现了如下核心问题或任务：抛物线上动点具有什么特征？如何用解析几何的方法刻画这些特征？抛物线、准线、焦点之间的关系以及相应的方程或坐标，并加以应用．

因此，整体教学思路是一致的，均是通过作图呈现抛物线的几何特征，然后用解析几何方法得到抛物线标准方程，再进一步应用抛物线标准方程以及相关概念解题．问题链的建构也以此为依据，体现了数学知识的形成过程．通过问题使学生体会解决数学问题的脉络．

进一步分析两节课的二级问题，新手教师表现出对知识细节的关注与落实，强调层层递进的教学思路．比如，学生根据作图过程获得了抛物线的定义（Q2-2），教师马上追问“书上的定义中，为什么定点不在定直线上？（Q2-3）”；在获得开口向右的抛物线标准方程（Q3-4）后，新手教师又通过Q3-5和Q3-6对这一概念进行深化理解；Q4的4个二级问题的设计也体现了对“标准方程”细致的理解；在对开口向右的抛物线进行了精细学习之后，才进一步去讨论其它开口方向的抛物线．而专家教师则表现出先粗后细、前铺垫后雕琢的教学思路．比如，关于定点不能在定直线上这一问题，专家教师是在学生考察了所有4个开口方向的抛物线之后才提出来的（Q4-4）；关于抛物线开口方向与定点、定直线的关系，专家教师在画第一条抛物线之后就让学生开始想象（Q2-2）．

反思中，新手教师认为新知识的学习应尽可能地细化，“因为如果不注意，可能会对后面的理解与解题产生影响．比如说，如果学生对标准方程中的‘标准’二字理解不到位，就会在解题中出错．”专家教师也指出，“知识的细化很重要，这往往也是教学难点，这需要慢慢地辅垫．可以是先放得开一些，然后回过来再作进一步精炼，这其实也是数学发展过程中的本来面目．”可见，虽然基于问题链的教学试图更多地呈现数学的发展脉络，但新手教师会在知识形成与知识同化两种学习逻辑上徘徊，表现出“发展性”与“控制性”两种数学价值取向[18]间的博弈，而专家教师强调知识的形成过程，体现出较为一致的“发展性”价值取向．

3.3 课堂行为与时间分布

根据对课堂教学活动的开放式编码分析，提炼出课堂上出现的以下7种课堂行为：教师解释（A）、教师演示（B）、教师布置任务（C）、师生问答（D）、学生独立完成任务（E）、学生表述与解释（F）、教师呈现学生作品并（由教师或学生）解释（G）．根据这一分类得到两位教师的教学活动时间线：

NT:_B_D_B_ D_E_D_E_D_ E_ E_ E_ D_ end

ST: D_ E_ E_ B_ D_ E_ E_ E_ D_ E_ D_ end

图1直观地呈现了两节课课堂行为的时间线，可见各类活动的安排比较琐碎．这似乎表明，教师在课堂上会不断地细化学习任务．图2显示了不同类型的课堂行为在整节课中所占的时间百分比．其中，“师生问答”是最常见的活动形式，两课均占整节课的34%左右，曹一鸣等也将此行为作为数学课堂关键性最高的A层教学行为[19]．教师在反思中表明了这样做的两个主要原因，一是为了能按时完成教学任务并适应学生的实际，这是对教学现实理性把握与妥协；二是因为，他们长期以来已习惯于问答式的教学，在课堂上不自觉地问了许多小问题．

图1 时间线上课堂行为

图2 不同课堂行为的时间比重

其次是学生独立完成任务，专家教师和新手教师的课上分别占22.09%和25.97%．进一步考察两节课上要求学生独立完成的具体任务，新手教师的课上共有10分36秒，分布在抛物线标准方程形成过程中的求方程阶段（3′57″），根据已知抛物线求标准方程、准线方程和焦点坐标（3′10″），例题求解（3′29″），均为求值的问题．而专家教师的课上共有9′45″，分布在回忆研究直线的解析几何方法（37′），建立合适的坐标系（4′38″），求标准方程（2′40″），根据已知抛物线求标准方程、准线方程和焦点坐标（1′6″），因此将一半以上的时间放在方法的回顾和坐标系的建立上．

另外，专家教师习惯于在任务布置的过程中非常明确地表达要求（占14.84%，而新手教师只占2.45%）．专家教师在反思中指出，“这样做能提前解决学生容易误解的地方”．可见，尽管专家教师强调呈现数学知识发展的过程，但又通过教学对其中一些容易出错的问题加以控制，这同样体现在专家教师对课堂上的解释与说明予以重视（占9.93%，而新手教师只占2.2%）．比较而言，新手教师更强调对学生作品的评价以及学生自己的解释（分别占17.39%和10.86%，而相应地专家教师课上分别为5.59%和5.17%）．她认为，“学生作品是很重要的学习资源，特别可以让学生从错误中学习．另外，学生的解释不仅可以给其他同学以启示，也能进一步理清他自己的思路．”这里似乎体现出专家教师在教学中出现了更具控制性的价值取向，而新手教师则表现了更具发展性的取向，这与之前问题链的分析结果出现了差异．也说明教师的价值取向在不同情境下会有所变化．即，专家教师在知识形成过程中强调发展性，而在解题过程中强调控制性；新手教师在解题过程中表现出发展性，在知识形成过程中则处于两种价值取向的徘徊状态．

3.4 课堂教学的重心与教学节奏

将两节课的问题链按照教学功能进行归纳提炼，可以分成复习引入、抛物线概念形成（包括实验与观察、特征与定义等环节）、抛物线标准方程建立（包含建立坐标系、方程求解、标准方程概念等）、抛物线标准方程深化（包括抛物线各要素间的关系、其它开口方向的抛物线标准方程等相关问题）、例题、作业、小结等环节．

由时间的分布看（表3），抛物线标准方程的建立是两节课的共有教学重点，新手教师和专家教师分别占28.5%和28.2%，但从二级环节来看，新手教师将重点放在根据设置好的坐标系求方程，而专家教师则将重点放在坐标系的建立上．两节课在其它环节的重视程度明显不一致．具体地，新手教师的教学比重从高到低依次为深化理解（29.7%），例子（24%），抛物线概念形成（15%），复习（1.9%），小结（0.9%）；而专家教师则依次是复习（24.8%），抛物线概念形成（20.1%），深化理解（15%），作业（6.2%），小结（0.8%）．

表3 各教学环节的时间比重

另外，从图3可以发现，专家教师的课堂节奏整体上呈现出前松后紧的特点，课的前半段更强调方法的学习，而后半段则变成方法的应用，特别表现在“深化理解”这一环节上．整节课试图体现以问题为明线、以方法为暗线，前慢后快的教学节奏．新手教师的课堂则将教学的重心均衡分配，特别关注与求值、解题相关的内容．

图3 不同教学环节的时间比重

4 结论与反思

首先，两位教师的教学都在一定程度上体现了“问题链”教学的理念．从问题链来看，呈现了以下逻辑：对动点几何特征的归纳中形成抛物线概念，让学生体会客体变化中的本质不变性（几何特征）；在此基础上利用解析几何的方法研究抛物线的几何特征，以体现数学模式观念；又通过研究其它开口方向的抛物线体现类比思维和共同的方法．同时通过问题链将整节课引向深入，为学生提供高水平数学学习的机会，通过学生独立完成任务，也让学生有一定的探索空间．

其次，从问题链的具体设计与实施而言，虽然两节课均表现出对“关联”的重视，但联结点不同：知识关联与方法关联．这种差异除了表现在作为教学联结点的复习环节，还表现在二级问题的设计、教学重心的安排等方面．其背后体现了两位教师不同的教学观点．即新手教师强调知识层层递进，而专家教师则强调先粗后细、前铺后琢．进一步从时间线的角度看，方法联结能较好地实现前慢后快的教学节奏，更能体现“问题链”教学的理念．

再次，尽管两节课最终完成预定的教学任务，学生也能解决预设的大部分问题，但教学时间的限制仍是影响“问题链”教学的重要因素．虽然两位教师在课堂上采取细化问题链、师生问答等方法加快教学节奏，但都存在不同程度的超时现象．事实上，当采用问题链进行教学时，教师都试图为学生提供较多的探索空间，这势必会增加教学时间．由前述，“方法联结”能使教学节奏变得前慢后快，因此在未来的“问题链”教学中应更多地倡导“方法联结”，让学生体验、获得数学探究的基本视角与通法．另外，还应探索并实践单元设计的思路，将具有共同研究视角或共通研究方法的数学主题作为一个单元，进行整体设计与实施，重新调整单元内各主题的课时，并体现以下教学思路：通过第一个主题的学习提炼并获得基本的研究视角与方法，并在后续主题中以问题解决的形式加以应用．

尽管从目前的试验来看，参与的教师能接受这一改革理念，也能在课堂中加以采用，学生也能获得较好的数学体验．但值得注意的是，该研究主要是在一个教师专业发展项目中得以实施的，因此所形成的研究共同体是松散的，在时间上也表现出零散性，课例研究的数量也非常有限．因此，未来需要开展更深入而具有连贯性的探索．

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Effective Teaching with Mathematics Question-Chain in Senior High Schools

TANG Heng-jun1, HAZEL TAN2, XU Yuan-gen1, ZHANG Wei-zhong1

(1. College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China; 2. Faculty of Education, Monash University, Melbourne 3800, Australia)

Ideal of teaching mathematics with question-chain was proposed based on the mathematical conception of problems solving. In a lesson study, both novice teacher and specialist teacher implemented the ideal in their classes, aimed to provide students with gradually deepening mathematical understanding and a certain exploring space. There were two kinds of mathematics connections used by the novice and the specialist respectively, i.e. content connectionmethods connection, which influenced latter instruction. Its value was limited by class time, which needed more studies on solutions such as unit plan.

mathematical question-chain; effective teaching; lesson study

2018–01–08

教育部人文社会科学研究规划基金项目——文化视野下中澳数学课程的比较研究（14YJC880066）；浙江师范大学研究生重点课程建设一般项目——数学课程与教材分析

唐恒钧（1979—），男，浙江余姚人，副教授，博士后，主要从事数学课程与教学研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0030–05

唐恒钧，HAZEL TAN，徐元根，等．基于问题链的中学数学有效教学研究——一项课例研究的启示[J]．数学教育学报，2018，27（3）：30-34．

[责任编校：周学智]