谷晓沛，马云鹏，朱立明



高一学生函数概念数学理解水平的实证研究——以T城市为例

谷晓沛1，2，马云鹏1，朱立明3

（1．东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024；2．鞍山师范学院 教育科学学院，辽宁 鞍山 114005；3．唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000）

从F·克莱因呼吁函数观念，到弗莱登塔尔推动现实数学教育，函数概念逐渐成为数学课程的灵魂，引起国内外数学教育研究者的高度重视．随着数学核心素养的提出，函数概念作为数学抽象核心素养的重要载体，备受关注．为了了解目前高一学生对数学函数概念的理解状况，通过测验调查了T城市3所不同类型学校的437名高一学生，主要调查他们在函数概念的感知、释义、关联、抽象4个理解水平的表现．调查结果显示：高一学生的函数概念的理解整体状况一般，不同类型学校间学生函数概念理解水平并不均衡，学校类型越好，学生的理解水平越高，不同性别在函数概念理解水平上具有阶段性差异．

函数概念；数学核心素养；数学教育；理解水平

1 问题提出

20世纪初，德国数学家F·克莱因（Christian Felix Klein）提出，中学数学教育要以函数观念和几何直观作为教学的核心，从数学教育的研究内容来看，关于代数内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心[1]．在F·克莱因、英国数学家贝利（J. Perry）等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学．函数概念开始成为数学教育的灵魂．实现了以函数概念为中心，将全部数学素材集中在它周围，进行充分综合的模式．高中数学新课程在设计上也体现了“以函数为纲”的重要思想，函数作为整个高中数学的一条主线，贯穿数学课程始终，在教学的组织中发挥桥梁与纽带作用[2]．函数概念是高中学生数学学习过程中首先遇到的具有一般意义的抽象概念，因此，函数成为中学数学中最难教、最难学的概念之一[3]．鉴于函数概念在高中数学中的重要性，教师不能通过呆读死记、机械训练的方式进行讲授，更需要引导学生加深对其的数学理解．数学理解是数学概念学习的重要环节，数学理解的核心对象就是概念和关系，在学生对函数概念已有的认知水平上，通过不同表征方式获取新的函数概念，并将其融入原有认识结构中．《美国学校数学教育的原则和标准》指出：“没有理解，只是记住事实和操作程序的学生不知何时，也不知如何应用他们的知识，这样的学习往往是不扎实的．”[4]

基于以上分析，提出3个研究问题：

（1）高中生函数概念理解水平的整体状况如何？

（2）不同类型学校学生函数概念理解水平的特征是什么？

（3）不同性别的学生在哪个函数概念理解水平上存在差异？

2 理论基础

2.1 关于函数概念的相关研究

函数概念在数学教育研究中是十分重要的内容，一直备受关注．主要集中在以下4个方面．一是借助APOS、PCK、SOLO等理论对学生函数概念的认知发展过程进行调查，关注学生回答正确与错误、复杂与简单．主要得出以下结论：函数概念作为数学的一个核心概念，其教学质量直接影响与函数相关的数学知识的学习，中国大部分高中生都处在函数概念建构的低级阶段，很少学生能达到最高阶段，学生对函数概念的认识程度随着年级的增长而逐渐提高，总地看来，不同学校的学生在函数概念的认知上是不同的[5-8]．二是聚焦函数概念内涵的解读，但是出发点不同．有的学者从函数概念的属性出发，认为“非空数集”和“单值对应”并非函数概念中的不变属性，“对应”才是函数概念中始终保持不变的属性，用“对应”定义函数也存在瑕疵，“关系说”才真正揭示了函数的本质属性[9]．还有的学者从数学史的视角出发，几乎涵盖了从17世纪莱布尼兹到20世纪布尔巴基学派诸多数学家的各种定义，认为学生对函数概念的学习与数学家共同体的理解存在高度的相似性，函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为学生的认知障碍，因此，帮助学生理解函数概念最好借鉴数学史[10]．三是从函数概念教学的视角出发，指出函数概念教学需要解构与重构，首先，基于数学学科来理解函数概念及其相关的网络体系，其次，基于教学理解函数，重新建立函数内容之间的关联，采用螺旋式教学来构建函数的结构体系[11]．四是从概念形成水平、不同数学气质类型的影响及思维发展水平3方面论述了函数概念学习中困难的根源[12]．可以看出，关于函数概念的研究很多，有理论的，也有实证的，虽然其中提到函数概念理解，但不是从数学理解的框架入手，对函数概念进行调查研究，只是经验层面的描述．

2.2 关于数学理解的相关研究

斯根普（Skemp）将数学理解分为“工具性理解”和“关系性理解”[13]，斯根普的数学理解模型并没有在数学内容及其表征之间给出明确区分，因此，赫斯考威克斯（Hersconvics）等在信息加工理论和发生认识论原理的基础上，提出理解类型层次理论，包括直观理解、程序理解、抽象理解、形式理解[14]，杜宾斯基（Dubinsky）基于赫斯考威克斯等人的研究成果提出“数学概念学习APOS理论”，在数学教育领域影响也很大，包括操作（action）、过程（process）、对象（object）和图式（schema）4个阶段[15]．希伯特（Hiebert）和卡彭特（Carpenter）从认知心理学的视角，提出在数学概念理解过程中，需要外部表征与内部表征[16]，当一个数学概念成为内部表征网络的一部分，才能说明这个数学概念被学生理解了[17]．莱什（Lesh）等在布鲁纳（Bruner）表征系统上，构建了数学理解的表征转化理论，数学概念可以通过书面符号、图像、口头语言、操作物、现实情境5种不同的表征方式来表征，同一表征方式或不同表征方式之间是互动或相互转化的[18]．这与奥苏贝尔（Ausubel）的意义学习理论一致，其实质都是建立新知识与认知结构之间的相互联系．

有的学者提出“超回归”数学理解模型，该模型由8个不同理解水平组成（或8个不同阶段），即：原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造．这8个理解水平包括了人们理解某一数学知识（数学概念、公式、定理等）所经历的全过程[19]．还有的学者，用专家评定法确立数学理解层次结构的理论模型，包括表象理解、解释理解、建立联系、思想运用和创造生成5个层次[20]．在数学教学实践中，人们通常把“理解”看成一种认知方式，一种获得知识的手段．

3 研究方法

3.1 研究对象的选取

研究中，考虑样本的代表性与方便性，采用选取教育、经济等条件处于中等水平的城市T中3类学校的高一学生作为研究对象．这是因为课标对高一学生学习函数的要求是重点理解函数概念．首先根据学校的师资力量、生源状况、硬件条件、管理水平等因素，将学校分成3类，一类是优质校，二类是中等校，三类是薄弱校．然后在各类学校选取数学成绩为中等的班级．所谓中等，主要是从班级的平均分来鉴定的．以这些班级学生作为样本，共发放测评问卷437份，有效问卷411，有效率是94.1%，研究对象分布如表1．

表1 研究对象的具体分布

3.2 测试工具的编制

基于以上数学理解的框架或模型，结合函数概念自身的特点，通过梳理已有相关研究，进行词频统计分析，其中频率较高（15%以上）的关键词包括：感知、认识、运用、描述、构造、抽象、操作、过程、直观．利用Likert五级量表，采用专家咨询法对上述9个关键词进行筛选，调查了31位专家，包括了10位数学教育领域研究者，7位数学教研员，14位中学数学教师，经过两次专家咨询，结合反馈建议，最终将函数概念的理解水平确定为感知水平、释义水平、关联水平、抽象水平．对此框架加以论证，如表2所示，4个水平的平均分都在4分以上，从离散程度看，各水平的标准差在0.422~0.691之间（标准差均小于1），说明专家意见相对比较集中；各水平的变异系数在0.091~0.159之间（数值均较小），反映专家群体对于函数概念的理解水平的测评协调程度较高．因此，在一定程度上说明了函数概念理解水平的科学性与合理性．

表2 函数概念理解水平的专家咨询结果

为了保证学生测评的难易程度与区分度符合教育测量的标准，在编制测评题项过程中考虑研究对象的实际情况，难度较大的题目不多，大部分是基础问题与中等难度的问题，各水平分测试的难度均控制在0.5左右，区分度在0.6左右．

下面，考察测评问卷各水平之间的关系，如表3所示，可以看出，组内两两水平相关达到0.01的显著性水平，相关系数在0.262~0.634之间，为高程度正相关．4个水平与总测评问卷之间相关系数在0.633~0.843之间，表明各层次与整个问卷一致，达到高程度正相关．

表3 各分析层次间的相关系数矩阵

表4 学生数学符号意识分析层次信度分析结果

3.3 正测与评分标准

采取现场施测的方式，由数学教师在课堂上组织学生独立完成，教师不给学生知识上的提示．研究对象完成所有测评大约需40分钟左右．学生测评问卷的评分由一名高校教师和两名中学教师共同完成．首先，3名教师共同制定评分标准和细则，为尽量避免由评分者主观判断带来的偏差，每道测评题项为0、1、2、3、4五个分值，每个水平最低0分，最高10分．这种方法直观、简洁，既方便评分，又便于数据的收集与分析．然后，分别由两名高一数学教师独立完成评分，不一致的评分再由第三个教师评判．两名教师的评分在95%以上一致，一致性程度较高．

4 研究结果

4.1 学生函数概念数学理解水平的整体状况

以此测评问卷测量所选学生样本，结果如表5所示，可以看出，学生在函数概念4个数学理解水平上得分跨度较大，随着水平的提升学生的分数逐渐降低，感知水平得分率最高（74.4%），抽象水平得分率最低（44.2%），考虑4个数学理解水平的层次性与测评问卷题目的难度，学生在感知水平与释义水平的状况比较好，可以说，整体上来看，所测学生对函数概念的整体感知、三要素等关键点的把握比较扎实，但是在关联水平与抽象水平，学生的表现一般．

表5 高一学生函数概念理解的整体状况

4.2 不同类型学校学生函数概念数学理解水平的特征

对于函数概念理解水平而言，除了了解学生的整体状况，不同类型学校的学生对函数概念的理解水平是否均衡，也是需要关注的．因此，接下来分析3类学校学生在函数概念理解水平上的差异．利用检验探讨不同类型学校的学生在函数概念理解水平上的差异，结果见表6，可以看出，不同类型学校的学生在感知水平上没有显著差异，而在释义水平、关联水平与抽象水平上存在显著差异．具体来讲，如图1所示，随着水平的升高，各类学校在每个水平上的得分逐渐降低，一类学校的学生得分最高，二类学校的学生得分居中，三类学校的学生得分最低．

表6 不同类型学校学生函数概念理解的状况

注：*表示<0.05

图1 不同类型学校学生函数概念数学理解水平变化趋势

4.3 学生性别在函数概念理解水平上的差异

为了了解学生性别在函数概念理解水平上的差异，针对不同性别的学生对函数概念的理解水平做了检验，结果如表7所示．可以看出，学生性别在函数概念感知水平上、关联水平、抽象水平没有显著差异，而在释义水平上存在显著差异，在感知水平、释义水平女生得分高于男生，在关联水平、抽象水平男生得分高于女生，如图2所示．

表7 不同性别学生函数概念理解的状况

注：*表示<0.05

图2 不同性别学生函数概念数学理解水平的变化趋势

5 研究结论

5.1 高一学生函数概念理解水平有待提高

研究发现，学生在函数概念数学理解的感知与释义两个水平上的得分率在50%以上，而在关联与抽象两个水平上的得分率不足50%，这表明，学生对函数概念的理解水平并没有研究者事先预想的优异，从调查结果中来看，高一学生能够很好地达到对函数概念的感知水平，但是后面3个理解水平（释义、关联与抽象）表现一般．这可能是因为函数概念本身是抽象的、复杂的，高一学生能够基于初中学习的基础，将函数的变量定义法迁移到对应定义法中，能根据函数定义判断哪些关系是函数，哪些不是函数．但是对于函数三要素，尤其是对应关系的理解，还存在一定的困难．学生对函数概念的理解水平处在初级阶段，对函数的认识是间断的、模糊的，表现为非系统性．函数的概念具有很强的辩证性，其中包括变量、变化、运动、联系、有限、无限等辩证的概念，学生还不能够从辩证思维来理解函数概念．从教育心理学的视角来看，数学概念具有二重性，函数不仅可以理解成为一种静态的对象与结构，还是动态的变化过程．学生在基础题目上表现比较好，而在创新题目上表现一般．学生对函数的理解停留在直观的、具体的函数层面，还未更好地达到释义、关联与抽象水平．

5.2 学生的知识结构基础是影响函数概念理解水平的重要因素之一

对高一学生对函数概念数学理解水平的研究发现，不同类型学校之间的学生在释义水平、关联水平、抽象水平上存在显著差异．一类学校在4个水平上的得分率均在50%以上，二类学校在抽象水平上的得分率仅为47.7%，三类学校在释义、关联、抽象3个水平上的得分率均不足50%，尤其在抽象水平的得分率仅为26.4%，就学生的函数概念整体理解水平而言，一类学校高于二类学校，二类学校高于三类学校．造成这种差异的原因可能有以下3个方面的原因．第一，不同类型学校在生源、师资、校园文化、培养机制等方面不同．第二，函数自身的独特特征．这里主要分析第二个原因：学生对函数概念的理解过程是函数概念发展过程的一个缩影，中国初中阶段学生学习函数概念主要采用“变量说”，而高中阶段主要采用“对应说”，这遵循了函数概念的历史发展顺序，学生在学习函数概念之前，积累了一些关于变量关系的基本活动经验，每个理解水平的达成都需要一定的知识基础．由于受到初中对函数概念理解的影响，学生一时难以调整采用对应关系定义函数的观念．理解水平的高低是由学生联系知识点的多少来决定，从广度上看，函数与其它数学内容的横向链，拓宽了学生的学习范围，这给学生的理解带来困难．教育心理学研究也表明，学生对抽象概念的学习必须借助于一定的经验，通过特殊实例的分析，抽象出概念的本质属性，再推广到一般的概念中去[12]．这与研究所发现的一致．

5.3 学生性别在学生函数概念的数学理解水平上存在阶段性差异

研究发现：在函数概念数学理解的感知与释义两个水平上，女生的得分率分别是69.0%与62.7%，男生的得分率分别是65.2%与57.4%，女生比男生表现好．而在函数概念数学理解的关联与抽象两个水平上，男生的得分率分别是50.5%与46.2%，女生的得分率分别是48.4%与42.2%，男生比女生表现好．这表明，男生在知识结构的网络构建与抽象能力方面要优于女生，而女生在对函数概念的感性认识与要素理解上要优于男生．学生的性别对于函数概念数学理解水平具有阶段性的影响．这一发现可能与数学具体内容有关，关联与抽象两个理解水平更需要学生对函数概念的深层次感悟，需要学生建立相关知识之间的逻辑关联，用函数抽象地对某一类事物或现象关于变量与对应的本质属性进行刻画．造成这种结果的原因可能在于高考评价对成绩的追求，多数教师与学生采用题海战术，重视解题技巧，没有对基本概念与基础知识进行深刻理解，盲目地机械性应用，旨在掌握解题方法，而非建立“知识网”．研究所得结论给广大研究者一定的启示：函数概念的教学在男女性别上应该具有针对性，女生注重知识结构网络与抽象能力的培养，而男生应该加强对函数三要素理解的提升．

[1] 张奠宙，张广祥．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社，2006：95．

[2] 吕世虎，王尚志．高中数学新课程中函数设计思路及其教学[J]．课程·教材·教法，2008，28（2）：49-52，86．

[3] 克莱因．古今数学思想（第一卷）[M]．上海：上海科技出版社，1979：122-126．

[4] 全美数学教师理事会．美国学校数学教育的原则和标准[M]．蔡金法，等译．北京：人民教育出版社，2001：21-22．

[5] 濮安山，史宁中．从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J]．数学教育学报，2007，16（2）：48-50．

[6] 苏耀忠，石颐园．从PCK内涵的角度解析函数概念的教学[J]．教育理论与实践，2015，35（20）：47-50．

[7] 陈蓓．利用SOLO分类法探究学生函数概念理解水平[J]．数学教育学报，2009，18（2）：35-38．

[8] 武锡环，杨会生，宋宏伟．函数概念知识结构的测量方法[J]．数学教育学报，2008，17（3）：39-40．

[9] 李祎，曹益华．函数概念的本质与定义方式探究[J]．数学教育学报，2013，22（6）：5-8．

[10] 任明俊，汪晓勤．中学生对函数概念的理解——历史相似性初探[J]．数学教育学报，2007，16（4）：84-87．

[11] 朱成万．函数概念的教学解构与建构[J]．数学教育学报，2011，20（4）：100-102．

[12] 朱文芳．函数概念学习的心理分析[J]．数学教育学报，1999，8（4）：23-25，44．

[13]  SKEMP R R. Relational understanding and instrumental understanding [J]. Mathematics Teaching, 1976, 77 (1): 20-26.

[14]  HERSCONVICS N, BERGERON J C. Models of understanding [J]. International Reviews on Mathematical Education, 1983, 15 (2): 75-83.

[15]  DUBINSKY E, LEWIN P. Reflective abstraction and mathematics education: the genetic decomposition of instruction and compactness [J]. The Journal of Mathematics Behavior, 1986 (5): 15-29.

[16] 巩子坤．数学理解说及其理论与课程意义[J]．比较教育研究，2009（7）：39-43．

[17] HIEBERT J, CARPENTER T P. Teaching and learning mathematics with understanding [M] // GROUWS D A. Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, 1992: 65-100.

[18]  POST T, BEHR M, LESH R. Interpretations of rational number concepts [M] // SILVEY L, SMART J. Mathematics for grades 5-9, 1982 NCTM yearbook. Reston, Virginia: NCTM, 1982: 59-72.

[19] 李淑文，张同君．“超回归”数学理解模型及其启示[J]．数学教育学报，2002，11（1）：21-23．

[20] 王瑞霖，綦春霞．数学理解的五层递进及教学策略[J]．中国教育学刊，2014（12）：40-45．

The Empirical Research on Mathematical Understanding Level of the Concepts of Function for the Students of Senior One

GU Xiao-pei1, 2, MA Yun-peng1, ZHU Li-ming3

(1. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China;2. Anshan Normal University Institute of Education, Liaoning Anshan 114005, China;3. Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China)

From Christian Felix Klein’s calling for the concepts of functions to Freudenthal’s promoting realistic mathematics education, the concepts of functions gradually became the soul of mathematics curriculum, and had drawn great attention to the researchers of mathematics education both at home and abroad. As the core of mathematics literacy was put forward, the concept of function, as an important carrier of abstract core literacy of mathematics, was a major concern. In order to understand high school students’ current understanding of the concepts of mathematical functions, this study investigated 437 high school students of different types of schools through tests in T city, in which mainly investigated their level of understanding of perception, definition, image and abstractness to the functions of concepts. The results showed that the overall situation of the understanding of the concept of function of high school students was ordinary, but the level was not balanced between different types of schools. The better the schools were, the higher level of understanding the students have. In addition, different genders had periodic variations in understanding level.

the concepts of functions; core mathematics literacy; mathematics education; understanding level

2018–02–20

辽宁省教育科学“十二五”规划2015年度研究基地专项课题——能力本位的卓越教师培养实践研究（JG15ZXY05）；河北省教育厅人文社会科学重点项目——河北省小学生课业负担测评模型构建与应用研究（SD182012）；河北省高等学校人文社会科学研究项目——数学新手型教师关键能力生成机制的跟踪研究（SZ18058）

谷晓沛（1974—），女，辽宁鞍山人，东北师范大学博士生，鞍山师范学院副教授，主要从事课程与教学论、数学教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0025–05

谷晓沛，马云鹏，朱立明．高一学生函数概念数学理解水平的实证研究——以T城市为例[J]．数学教育学报，2018，27（3）：25-29．

[责任编校：周学智]