付 钰，张景斌



中美数学教材三角函数习题的比较研究

付 钰，张景斌

（首都师范大学，北京 100037）

从教材习题的数量、类型以及综合难度3个方面比较中美高中数学教材中有关三角函数的习题，而综合难度又从探究、背景、运算、推理和知识含量5个难度因素进行分析．结果发现，中美数学教材的习题在数量、类型、综合难度3个方面都存在一定的差异，这些差异对中国数学教材编写具有启示性的意义．

数学教材；三角函数；习题；比较研究

1 研究背景

教材是学校课程内容的载体，与教师和学生共同构成教学活动的重要因素，直接影响教学的成效与学校教育的质量．习题是中学数学教材的重要组成部分，习题配置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向和编写风格．因此，对教材中的习题进行研究是教材研究的一个重要方面[1]．研究的重点是对中美数学教材三角函数习题的比较分析，三角函数作为基本初等函数的一种，是描述周期现象的重要数学模型．通过学习三角函数能使学生体会数学在物理、生物等其它学科以及生活中的应用，并且有利于其对数学的理解以及数学素养的提升．希望该研究能对中国数学课程改革与教材编写给予一定的启示．

2 研究设计

2.1 研究对象

选取中国人民教育出版社2004年5月出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修四》（A版）与《普通高中课程标准实验教科书数学必修五》（A版），美国迈克道格公司2008年出版的数学教材《代数2》．研究对象是中国、美国这两部数学教材三角函数内容的习题．两部教材三角函数内容的分布情况如表1所示．

表1 两部教材三角函数内容分布情况

研究选取的习题范围为人教A版教材中节中、节末的“例题”“练习题”“习题”和章末的“复习参考题”；美国《代数2》中的“例题”“练习题”“检验你的理解的练习”（Check Your Understanding）、“习题”（Exercises）和“标准练习题”（Standards Practice），还有章末对于各节知识回顾的“复习题”（Study Guide and Review）及“章末测试”（Practice Test）的题目．

2.2 研究方法

从习题数量、习题类型、习题综合难度3个维度对习题进行分析．习题综合难度的分析采用鲍建生教授的综合难度模型，主要从探究、背景、运算、推理和知识含量5个难度因素进行比较，而且每个因素又划分为若干个水平，各个水平及其赋值见表2．

综合难度模型的计算分两步：

第一步，鉴定每道题目的5个因素难度水平，并进行赋值．

第二步，根据上述等级水平赋值统计教材题组的加权平均，计算公式是：

其中d中的（=1, 2, 3, 4, 5）依次表示“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”5个难度因素；d为第个难度因素的第个水平的权重；n则表示这组题目中属于第个难度因素的第个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数[2]．

3 中美数学教材中三角函数习题的比较与分析

3.1 习题数量

人教A版《数学必修四》《数学必修五》在习题的标号上，大题是采用1、2、3……编号的形式；小题是采用（1）、（2）、（3）……编号的形式．《代数2》在习题的标号上，采用一个问题一计数，依序计数的方式．因此，美国教材中同类型练习题出现的频率较高（如图1）．

表2 综合难度模型

为使统计分析更为科学合理，采用统一计数方式，将中国教材中（1）、（2）、（3）……的每一个问题按照1、2、3……重新标号，采取与美国教材同样的计数方式．统计两部教材相关习题数量结果如图2所示：

图2 两部教材三角函数部分习题数量的统计情况

如图2表明，对于三角函数内容而言，人教A版教材的例题数量是美国《代数2》例题数量的两倍之多，而《代数2》课后习题数量远高于人教A版的课后习题数量．结合图1可知，人教A版教材的编写注重的是课堂上的例题引导与反馈练习，《代数2》更为注重的是课后反复练习与巩固．

3.2 习题类型

将人教A版教材和《代数2》所有习题类型进行统计，结果如表3所示．

表3 两部教材三角函数部分习题类型的统计

从总体上看，两部教材的习题中，计算题的数量及比重都是最高的，其次是推理题．差异较大的是简答题和作图题，人教A版教材的填空、计算、简答题比例高于《代数2》，而《代数2》中选择、作图、推理、改错、开放型题的比例高于人教A版教材．表3显示，《代数2》中三角函数内容习题类型多于中国人教A版教材习题的类型，例如《代数2》中明确具有挑战型问题和改错题，在人教A版教材中是没有的．两部教材习题类型差距还是相当大的．但是，习题类型分布达到一个什么样的比例才最有利于学生的数学学习，仍然是今后需要研究的课题．

值得一提的是，在《代数2》中有一类习题叫做“螺旋式复习习题”，在三角函数部分这类题目一共有133道，设置在每一节课后习题的末尾．它弥补了传统复习方法的不足，考虑到各个单元相对独立、过去学过的知识不进行及时复习就会遗忘这一特点，设置“螺旋式复习习题”对学过的知识逐渐拓展和完善，这样以往的知识才会不断得到加深和巩固．因为，人教A版教材中没有对应类型的习题，故本文没有将这部分习题纳入比较的范围．

3.3 习题难度

如前所述，对这两部教材三角函数内容习题按探究、背景、运算、推理、知识含量5个难度因素进行比较分析．

（1）探究水平．

统计表明，人教A版、《代数2》两部教材中属于“识记”水平的习题分别占58.2%、74.4%；属于“理解”水平的习题分别占38.7%、23.7%；属于“探究”水平的习题分别占3.1%、1.9%（如图3）．

图3 两部教材习题在探究水平上的比较

由统计结果可知，人教A版教材在“识记”水平的习题较《代数2》低16.2个百分点，“理解”水平的习题较《代数2》高15个百分点，“探究”水平的习题较《代数2》高1.2个百分点．由此可见，人教A版的教材重视数学的“理解”，侧重于让学生理解数学知识的本质，而《代数2》则强调基础知识的掌握和巩固．

（2）背景水平．

统计表明，人教A版、《代数2》两部教材中属于“无背景”水平的习题分别占91.2%、85.3%；属于“个人生活”水平的习题分别占5.6%、6.7%；属于“公共常识”水平的习题分别占1.3%、3.0%；属于“科学情境”水平的习题分别占1.9%、5.0%（如图4）．

由统计结果可知，人教A版教材在“无背景”水平的习题较《代数2》高5.9个百分点，“个人生活”水平的习题较《代数2》低1.1个百分点，“公共常识”水平的习题较《代数2》低1.7个百分点，“科学情境”水平的习题较《代数2》低3.1个百分点．尽管两国习题在背景水平上差异较小，但仍能发现：在《代数2》中，每节都有与科学情境联系紧密的应用型试题出现，涉及地理、物理等学科，跨学科的知识衔接展现了美国教材的特色；而人教A版教材在这个方面的设置上逊色一些．

图4 两部教材习题在背景水平上的比较

（3）运算水平．

统计表明，人教A版教材、《代数2》两部教材中属于“无运算”水平的习题分别占12.4%、18.6%；属于“数值计算”水平的习题分别占63.2%、65.4%；属于“简单符号运算”水平的习题分别占 24.3%、15.0%；属于“复杂符号运算”水平的习题分别占 0.1%、1%（如图5）．

图5 两部教材习题在运算水平上的比较

由统计结果可知，人教A版教材在“无运算”水平的习题较《代数2》低6.2个百分点，“数值计算”水平的习题较《代数2》低2.2个百分点，“简单的符号运算”水平的习题较《代数2》高9.3个百分点，“复杂的符号运算”水平的习题较《代数2》低0.9个百分点．从整体来看，《代数2》对运算水平的要求低于人教A版，大量重复性相似的习题的练习提高了数值运算的比率；人教A版教材则更为强调数值运算和符号运算，注重数学符号语言应用．

（4）推理水平．

统计表明，人教A版、《代数2》两部教材中属于“无推理”水平的习题分别占38.1%、33.3%；属于“简单推理”水平的习题分别占60.6%、64.9%；属于“复杂推理”水平的习题分别占1.3%、1.8%（如图6）．

由统计结果可知，人教A版教材在“无推理”水平的习题较《代数2》高4.8个百分点，“简单推理”水平的习题较《代数2》低4.3个百分点，“复杂推理”水平的习题较《代数2》低0.5个百分点．两部教材在“无推理”和“简单推理”两个因素上存在差异，但是均没有强调“复杂推理”．从整体水平看，人教A版教材在习题推理水平的难度略低于《代数2》．

图6 两部教材习题在推理水平上的比较

（5）知识含量．

统计表明，人教A版、《代数2》两部教材中属于只含有“一个知识点”的习题分别占54.4%、69.0%；属于含有“两个知识点”的习题分别占 36.0%、22.9%；属于含有“3个及以上知识点”的习题分别占9.6%、8.1%（如图7）．

图7 两部教材习题在知识含量上的比较

由统计结果可知，人教A版教材在“单个知识点”水平的习题统计上较《代数2》低14.6个百分点，“两个知识点”水平的习题较《代数2》高13.1个百分点，“3个知识点”水平的习题较《代数2》高1.5个知识点．这表明，《代数2》偏于重视单个知识点的练习，人教A版教材则重视两个知识点的练习．

（6）综合难度．

在以上对习题难度的5个因素进行比较分析的基础上，进行综合难度的计算，把所得结果汇总成下面的表4．

表4 两部教材习题的各难度因素的加权平均

两部教材习题综合难度的直观模型如图8．

从统计结果可以看到，人教A版教材的习题在“探究”、“运算”和“知识含量”3个水平上高于《代数2》，而在“背景”和“推理”两个水平上低于《代数2》．从综合难度模型上看，两部教材都较侧重于“运算”和“推理”．然而，这5个因素达到什么样的难度取值才能是一部好的教材的标准，仍然是需要研究的方向．

图8 两部教材习题难度综合直观模型

4 进一步结论

4.1 习题类型多样

美国数学家与数学教育家波利亚先生提出：“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现．”[3]在习题配备上，缺乏变化和多样性的练习会导致学生失去兴趣，产生厌烦情绪．研究者在比较中发现，两部教材习题类型丰富，呈现方式多样，均有自己国家的特色，美国《代数2》较重视作图题、推理题以及对数学概念理解性的改错题，而中国人教A版教材重视培养学生运算能力，而重视运算能力的培养是中国数学学科的一个显著特色．

4.2 习题背景丰富

弗莱登塔尔提出将现实问题“数学化”的观点，将数学知识与习题嵌入到现实情境，使学生脱离纯粹的解题和无尽的推理，使数学知识“生活化”（还原数学知识的现实背景）．空洞的数字符号是不容易让学生产生兴趣的，在教材编写中应尽量让习题选材密切联系生活实际[4]．在对比过程中，美国和中国两部教材的习题都在不同程度上涉及物理、生物等学科的知识，或者涉及学生的日常生活，这样的安排充分展示了数学广泛的应用性，同时也有利于学生把数学作为解决实际问题的工具，增强数学建模意识，彰显数学应用价值[5]．

4.3 习题难易结合

习题在课本中承担着巩固新知、强化练习的重要作用，在知识点的分布上，由少到多的循序渐进，体现着习题难度的不断增加．人教A版教材在章节末配备了“复习参考题”，均设置A组和B组，B组的综合难度和应用性略高于A组；《代数2》中练习题的设置也安排了Check Your Under- standing、Exercises和Standards Practice环节，均根据学生的认知规律和掌握情况，呈现出坡度性和层次性的效果，能使学生在练习过程中循序渐进地理解和处理数学问题．

5 启示

通过以上的分析，结合中美数学教材的异同点，提出几点对人教A版教材三角函数内容的编写乃至中国数学教材编写具有启示意义的建议．

5.1 适度淡化数值计算的训练 拓展习题的开放空间

人教A版教材的推理题大多数呈现的是对给出的定理或者规律进行证明，或者对恒等式的推理论证，同时也设置了通过给定的公式让学生自发性推导出更多关系式的练习题，培养学生的迁移能力；美国教材的推理题编写则十分注重学生问题解决能力的培养，他们会提供一定量的极富挑战性的问题，这些问题在难度设置上要求并不是很高，反而留给学生一定的空间让他们自己去发现、去探索．结合表3，可以发现数值运算占据了人教A版习题的66.7%，比美国教材高了6.3个百分点；开放、挑战类习题只占2.2%，而美国教材开放、挑战、改错类习题占5.1%．建议教材编写适度淡化数值运算的训练，同时增加习题的“开放性”．“开放性”体现在可以选择让学生自由举例论证，或者让学生自主探索结论并尽可能增加结论的开放性．在习题的设置上增加开放性，结合中国教材习题层次性、坡度性的特点，能使学生创造性解决问题，培养学生提出猜想、构造模型，一般化，数学推理证明等高水平认知能力[6]．

5.2 注重数学知识之间的联系 恰当地设置组织习题

在美国《代数2》的教材中，在章节中间、章末尾，都安排了该章的练习测试，还设置了重点类型题与练习题进行回顾，同时在各章中穿插着对之前章节学习内容的回顾．学生对某一知识点的掌握，要经过一定的反复练习，才能逐渐深入理解与灵活运用，而且通过练习能检验学生之前的学习效果，以便及时巩固与弥补学生学习中存在的不足．在安排习题时可以借鉴课程的螺旋式设置，无论在节末尾，还是章中间、章末尾，都可以设置相应的习题来引导学生深化理解自己学过的知识，这样能使学生不断优化自己的数学知识体系，完善认知结构．在这个过程中，习题作为一个促进学习的手段，它的组织编排方式显得尤为重要．

5.3 加强数学与信息技术的结合 培养学生的应用意识

信息技术已经对数学的发展产生了至关重要的促进作用．一方面，信息技术的使用影响了教师的教学方式和学生的学习方式；另一方面，信息技术的使用丰富了学生的学习资源，改善了学习环境，激发了学生学习数学的动力．数学教材应力图呈现习题与信息技术紧密结合，鼓励学生多学习和使用信息技术来探索问题、解决问题，既体验学习数学的乐趣，又感受数学的应用价值．毕竟获取知识不是最终目的，应用知识才是更为重要的任务[7]．实现信息技术和学科内容之间的整合，让学生感受数学与信息技术结合的力量．

中国与美国的两部数学教材上在习题的数量、类型、综合难度方面存在一定的差异性．比较不同国家的数学教材，有助于开拓研究者的视野与思路，在保留中国数学教材优势的基础上，借鉴他国数学教材之长，不断完善中国数学教材的建设，而教材的改进将有利于学生的学习与发展．

[1] 吕世虎，孙学敏．中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（6）：70-73．

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A Comparative Study of Trigonometric Exercises between Chinese and American Mathematics Textbooks

FU Yu, ZHANG Jing-bin

(Capital Normal University, Beijing 100037, China)

This paper compared the exercises of trigonometric functions between Chinese and American high school textbooks from three aspects, which included the number, the type and the synthesis difficulty of exercises. The synthesis difficulty was analyzed from five difficult factors, namely inquiry, background, calculation, reasoning and content of knowledge. The result showed that there were some differences between the exercises of Chinese and American Mathematics Textbooks in those three aspects. These differences were of enlightening significance to the compiling of Mathematics Textbooks in our country.

mathematics textbook; trigonometric function; exercises; comparative study

2018–01–09

全国教育科学规划课题中小学数学教育研究专项——中学数学教学与学生学习心理一致性的调查研究（GIA117004）

付钰（1994—），女，黑龙江绥化人，研究生，主要从事数学课程论和数学教材比较研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）03–0014–05

付钰，张景斌．中美数学教材三角函数习题的比较研究[J]．数学教育学报，2018，27（3）：14-18．

[责任编校：周学智]