王婷婷，王发杰，张耀明

(山东理工大学 数学与统计学院， 山东 淄博 255049)

数学物理反问题源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题。反问题是相对于正问题而言，主要包括Chauchy问题、源项识别问题、参数识别问题、初值反问题、几何形状反问题和自由边界反问题等。在实际工程应用中，由于受到工况条件或设备条件的限制，仅能测量部分结构的边界温度和热流，其余边界上的边界条件无法获取，这类反问题就是所谓的Chauchy热传导反问题[1]。Chauchy热传导反问题由于可利用边界信息较少，传统数值方法大多对测量边界误差非常敏感，通常会产生不适定问题，从而难以得到可接受的数值解。近年来，诸多研究者开始关注和探究这类反问题的数值方法。

有限元法(FEM)和有限差分法(FDM)长久以来是实际工程应用中的主流数值计算方法，已被广泛应用于反问题的研究中。但是，这些基于网格类的方法需要对整个计算区域进行离散，过程繁琐且耗时，特别是对于无限域问题和高维的不规则几何形状问题。此外，反问题已知部分边界条件时，有限元模拟相当困难且计算精度不高。边界元法(BEM)将问题维数降低一维，并具有边界离散和半解析性质，是目前较有潜质的一种数值算法[2]，在热传导反问题的求解中，比有限元法更有效、更准确。然而，边界元法不可避免地涉及奇异积分和几乎奇异积分的计算，这就为解决实际问题带来了很大困扰。针对此情况，笔者[3-4]提出了一种简单精确的无网格方法—平均源边界点法。……