摘要：设ρ和σ是表示量子状态的两个密度算子（迹为1的半正定算子），定义ρ到σ的相对熵为S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）。分别应用密度算子的标准正交分解和凹函数的相关知识证明了S（ρ‖σ）≥0，同时把凹函数定义推广到矩阵的迹形式。

关键词：密度矩阵；量子的相对熵；迹

一、 引入

在经典信息论中，设系统X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n，随机变量Shannon熵可以定义为随机变量取不同值的一个函数，可以看作是概率分布的函数。

定义1设X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n为一个系统，Shannon熵定义为H（X）=H（p1，…，pn）≡-∑ni=1（pxlogpx），本文中“log”是以2为底的，“ln”是自然对数，因为log0没有定义，从直观上讲，不发生事件对Shannon熵没有贡献，因此可规定0log0=0。

定义2设p（x）和q（x）是定义在同一指标集上的概率分布，p（x）到q（x）的相对熵定义H（p（x）‖q（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x），定义当p（x）>0时，-p（x）log0=+∞。

定理1设p（x）和q（x）是定义在同一指标集上的概率分布，则p（x）到q（x）的相对熵是非负的，即H（q（x）‖p（x））≥0，当且仅当p（x）=q（x）时等号成立。

证明对所有的正整数x>0，logxln2=lnx≤x-1当且仅当x=1时等号成立。那么其可以变形为-logx≥1-xln2，H（q（x）‖p（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x）≥1ln2∑xp（x）1-q（x）p（x）=1ln2∑x（p（x）-q（x））=1ln2（1-1）=0。由上面的可知，当且仅当p（x）=q（x）对所有的x成立时取等号。

Shannon熵测量的不确定性与经典概率的分布相关联。描述量子状态的方式是类似的，只是用密度算子代替概率分布，把Shannon熵推广到量子状态。以下把量子状态下的相对熵的非负性证明做一些讨论。

二、 内容

定义3设pi是量子系统中一组状态|ψi〉对应的概率，称ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|为一个纯态系统的密度算子（或者成为密度矩阵）。

定理2密度算子ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|是一个迹为1的半正定算子。

证明因为ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|，所以tr（ρ）=tr（∑iρi|ψi〉〈ψi|）=∑iρitr（|ψi〉〈ψi|）=∑iρi=1，且对于任意的一个表示状态的向量|φ〉，〈φ|ρ|φ〉=〈φ|∑iρi|ψi〉〈ψi||φ〉=∑iρi〈φ，ψi〉〈ψi，φ〉=∑iρi〈ψi，φ〉2≥0

定理3一个迹为1的半正定算子ρ一定是一个密度算子。

证明因为ρ是一个半正定算子，所以ρ一定有谱分解。……