周强

摘要：随着金融衍生产品市场的进一步发展，我国的金融衍生工具将越来越丰富，投资者对衍生品定价精确度要求越来越高，蒙特卡罗模拟方法是衍生产品定价的强有力工具，开展蒙特卡罗对数量金融的应用研究十分重要。鉴于此，文章将围绕蒙特卡罗模拟方法在数量金融领域的应用展开研究和探讨，以期对相关人员有所裨益。

关键词：蒙特卡罗方法；数量金融；应用

引言

金融衍生品是二级市场重要的套期保值工具，要顺利规避风险必须对衍生产品进行精确定价。个别简单期权在严苛的假设前提下存在解析表达式，一般而言，对期权定价要使用数值方法。二叉树方法和有限差分法对于低维衍生品计算速度快，但是对于奇异期权，蒙特卡罗模拟可能是实际应用中唯一可行的方法。

1普通蒙特卡罗模拟方法

蒙特卡罗模拟方法又叫做随机模拟技术，它通过建立概率统计模型，使求出的参数估计量为问题的数值解，之后通过对模型进行简单随机抽样得到简单随机样本，用这些样本值计算参数估计值，并给出相应的概率分布特征，最后给出数值解，数值解的精确度可以用估计值在给定显著性水平下的置信区间来衡量。对于金融衍生产品定价问题，主要求t=0时刻的价格，即贴现支付（Payoff）的无条件期望，这可以用样本均值这一参数估计量来作为数值解。如果通过蒙特卡罗模拟方法计算得出的参数估计量的概率分布比较简单，可以得到其确切的概率累积分布函数表达式或者矩母函数，则得到了参数估计量这一随机变量的所有性质，但是模拟参数估计量的概率分布计算量非常大。在金融衍生产品定价问题中，一般只需要求贴现支付的—阶矩。

蒙特卡罗模拟方法的思想是通过简单随机抽样计算参数估计量的概率分布特征，随后给出金融衍生产品定价问题的数值解。如果已经知道随机变量所服从的概率分布或者把定价问题转为已知概率分布的变量的函数，就可以用蒙特卡罗模拟方法，它的统计学基础是辛钦大数定律（Khinchin Law of Large Numbers）与列维一林德伯格中心极限定理（Lindburg-Levy Central Limit Theorem），由于简单随机抽样得到的样本为独立同分布的，辛钦大数定律使得样本均值这一随机变量依概率收敛到总体均值。作为点估计，列维一林德伯格中心极限定理使得样本均值的分布依概率收敛到相应均值和方差的正态分布，能以此概率分布信息构造给定显著性水平下的置信区间，作为区间估计，评估蒙特卡罗模拟方法的精确度。

普通蒙特卡罗模拟方法使用步骤：假设标的资产所服从的随机过程；在风险中性概率测度下通过简单随机抽样生成标的资产S的样本价格路径；计算衍生品的支付；根据预先设定的重复抽样次数循环步骤，以取得大量该衍生品的支付样本；用无风险利率对衍生品支付进行贴现；计算贴现支付的样本均值，简单随机抽样得到的样本为独立同分布的，根据辛钦大数定律，该样本均值即为衍生品现值的点估计；简单随机抽样得到的样本为独立同分布的，根据列维—林德伯格中心极限定理，根据相应均值和方差的正态分布性质构造给定显著性水平下的置信区间，即得衍生品现值的区间估计。

与解析方法比较，蒙特卡罗模拟方法有更好的灵活性，要求出金融衍生产品的解析公式往往需要不切实际的假设，这大大限制了解析公式的实际应用范围。使用蒙特卡罗模拟方法进行资产定价，可以在更宽松的条件下生成標的资产样本路径，如可以假设随机过程带跳，波动率服从随机扩散过程，利率随机化，或者服从一些厚尾分布，使其更符合现实的金融市场。此外，蒙特卡罗模拟方法可以作为决策实验室，可以根据分布生成各种风险因子的未来状态，结合管理者对未来风险水平的主观分析，有助于金融风险管理决策。

2其他蒙特卡罗模拟方法

第一，条件蒙特卡罗模拟方法。条件蒙特卡罗模拟方法是降低方差技术中应用前提最严苛的方法，它要求条件期望存在解析表达式。条件蒙特卡罗模拟方法相比于普通蒙特卡罗模拟方法，置信区间变小了，衍生品现值的估计更精确了。

第二，拟蒙特卡罗模拟方法。拟蒙特卡罗模拟方法又称为低差异序列方法。此方法和普通蒙特卡罗模拟方法不一样，不生成随机序列。实际上，拟蒙特卡罗模拟方法产生足够均匀的点，这些点分布单位在区间上，是确定性序列，故只能做点估计，不能做区间估计。在使用该法为金融衍生产品估计现值时，积分的计算要从这个定价问题转换而成，衍生品现值不可再用无条件期望表示。

3蒙特卡罗方法在数量金融中的应用

3.1普通蒙特卡罗模拟在多期收入保证价格中的应用

多期收入保证价格C（0）的“多期”，在数学上体现为路径依赖，即要求模拟承 的整个路径，要考虑 （t）和N（t）的增量独立性.把时间区间[0，T]等分为J份，步长dt= ，即0

用下式即可生成dN（k）：其中P -P（ ）.生成d （j）和dN（k）后，再生成InK（l）～N（ ），最后把三个随机源代入相关公式，

得根据该方法的公式C（0）显著性水平为α的置信区间为

3.2条件蒙特卡罗模拟方法在多期收入保证价格中的应用

目标函数X；表达式如下 能够解出一部分解析解

其中

设

设为标的波动率，K为相应欧式看涨期权敲定价，KR+，欧式看涨期权具有马尔可夫性质，在任意时刻t的价格为：.

标的Sto（t）服从几何布朗运动：

于是

Sto（t）关于F（t）-可测，YYY独立于F（t）根据公式得

最终所得显著性水平为a的置信区间为：

3.3对比两种蒙特卡罗方法结果

给定参数值其置信区间长度几乎没有区别，但是在动态参数值下期置信区间长度如下：

从表1可以看出，普通蒙特卡罗模拟精确度最差，对偶变量法和控制变量法精确度差不多，控制变量法略好一些，精确度最高的是条件蒙特卡罗法。这不难理解，因为条件蒙特卡罗法用到了条件期望的解析解，数值解精度再高也比不上解析解。条件期望存在解析解这一前提条件比较难实现，即使存在解析解。可以看出，解出条件期望的解析公式并不容易.控制变量法的难点在于控制变量均值解析公式的求解，复杂程度不如条件蒙特卡罗法.对偶变量法最简单，精确度只略差于控制变量法，相比普通蒙特卡罗法有所改进。

综上，给定多期收入保证价格的各个参数，各种蒙特卡罗模拟方法均能有效计算出其数值解，运用显著性水平为a=0.05的置信区间长度作为评价指标，发现普通蒙特卡罗方法的置信区间长度最大，对偶变量法和控制变量法次之，条件蒙特卡罗最小，普通蒙特卡罗方法精确度最差，精确度最好的是条件蒙特卡罗方法。事实上，各种蒙特卡罗方法应该取长补短，组合使用。

当高维度数量金融问题不存在解析公式时，蒙特卡罗模拟是个行之有效的方法，但未必是万能的方法。当随机跳跃幅度参数位于某一区间时，蒙特卡罗模拟是无效的，得出的置信区间不足以估值。同样对于一些不具有鞅性的衍生品，如美式看跌期權，选择期权（Chooser Option）等，均不能用普通蒙特卡罗模拟方法定价，美式看跌期权需要结合动态规划定价，选择期权需要用条件蒙特卡罗方法定价。金融市场不断发展，金融产品不断创新，对于层出不穷的金融工具，必然存在蒙特卡罗模拟所不能估值的金融衍生品，这时候就要发展更有针对性的蒙特卡罗方法，这是未来蒙特卡罗在数量金融应用的主要课题。

结束语

当高维度数量金融问题不存在解析公式时，蒙特卡罗模拟是个行之有效的方法，但未必是万能的方法。金融市场不断发展，金融产品不断创新，对于层出不穷的金融工具，必然存在蒙特卡罗模拟所不能估值的金融衍生品，这时候就要发展更有针对性的蒙特卡罗方法，这将是未来蒙特卡罗在数量金融应用的主要课题。

参考文献：

[1]何志权.蒙特卡罗方法在数量金融中的应用[D].广东工业大学，2016.

[2]翁泽南.蒙特卡罗方法在三类金融衍生产品定价中的应用[D].上海师范大学，2013.