王冰,方跃法

(北京交通大学机械工程系,100044,北京)

并联机构因闭链结构具有高承载能力、高伺服刚度、高精度及优良的动态性能等优点,使其在重载操作、微纳操作、工业机器人、康复机器人及并联机床等领域得到了重要应用。可重构并联机构具有传统并联机构的全部优点,同时又具有可变结构和自由度特性,使其具有更好的柔性和适应性,吸引了机构学与机器人研究者的极大兴趣,成为新的研究热点之一。可重构并联机构按可重构机理不同,分为变胞并联机构和运动分岔并联机构两类。

变胞并联机构特征在于机构在连续运动中有效杆件数目发生变化,从而导致机构自由度的变化;主要是采用变胞运动副[1-3]、杆件重合与合并[4-6]及可锁死关节[7-8]等方法来实现机构的可重构。运动分岔并联机构[9-12]与变胞并联机构不同,在连续运动中杆件数目并无变化,机构的拓扑结构也没有改变,而是利用机构的约束奇异特性来实现机构的可重构。运动分岔并联机构在连续运动模式下的自由度数小于约束奇异位形下的瞬时自由度数。约束奇异位形为运动分岔并联机构不同运动模式进行切换的初始位形,为保证机构运动的可控,伺服电机数应为机构的瞬时自由度数。

虽然学者们提出了一些特色鲜明的可重构并联机构,但目前已知的具有连续变自由度特性的运动分岔并联机构仍然较少,这类机构的结构综合、结构约束、自由度及运动模式分析等问题都是值得深入研究的机构学基础问题。本文提出一种具有运动分岔特性的新型并联机构,运用螺旋理论对其结构约束和运动模式进行分析,并分析了其输入选取。

1 运动分岔单环闭链

1.1 初始位形

初始位形下的具有运动分岔特性的单环闭链如图1所示。与叶伟等在可重构并联机构设计中所应用的平行四边形机构不同[11-12],这里以单环闭链机构的连架杆AB为输出构件,所有杆的杆长为任意,但连架杆AB和CD在初始位形时应相平行且与机架AD正交。连架杆与机架间通过虎克铰相连,连杆与连架杆间通过转动副相连。图1中＄i(i=1-6)为各关节的运动螺旋,建立参考坐标系o-xyz于A点虎克铰的几何中心。在初始位形时,x轴和y轴分别与＄1和＄2同向,＄1、＄3、＄4和＄5同向,＄2和＄6同轴。输出构件AB通过两条支链与机架AD相连,＄1和＄2为支链一,＄3、＄4、＄5和＄6为支链二,选取机架副为输入副。支链一和支链二的运动螺旋系分别为

(1)

(2)

式中:e3、e4及f4、f5均为常数。根据螺旋理论,输出构件AB的运动螺旋系应为两支链运动螺旋系的交集,因此式(1)即为杆AB的当前位形下的运动螺旋系。由式(1)可见,杆AB的瞬时自由度为2,具有绕x轴和y轴的瞬时转动。

图1 初始位形下的运动分岔单环闭链

1.2 运动模式A

如图2所示,当单环闭链绕x轴旋转α角,支链一的运动螺旋系变为

(3)

对式(3)取反螺旋,可得支链一的约束螺旋系为

(4)

在当前位形下,支链二的运动螺旋系为

(5)

对式(5)取反螺旋,可得当前位形下支链二的约束螺旋系为

(6)

式(4)和式(6)相并即为杆AB的约束螺旋系,对并集取二次反螺旋,可得杆AB的运动螺旋为

＄AB=(1,0,0;0,0,0)

(7)

式(7)表明,在此位形下,单环闭链的连续自由度为1,杆AB绕x轴作连续转动,杆AB不能再作绕y轴的转动,称此位形为运动模式A。

图2 运动模式A下的运动分岔单环闭链

1.3 运动模式B

如图3所示,单环闭链绕y轴旋转β角,支链一在此位形下的运动螺旋系与式(1)相同,对其取反螺旋,得约束螺旋系为

(8)

支链二在此位形下的运动螺旋系为

(9)

式中:d4=d5=-y4sinβ;f4=f5=-y4cosβ,y4为当前位形下C点和D点的y向坐标。由式(9)可得支链二的约束螺旋系为

图3 运动模式B下的运动分岔单环闭链

(10)

式(8)和式(10)的并集即为当前位形下杆AB的约束螺旋系,对其取二次反螺旋,得杆AB在当前位形下的运动螺旋为

＄AB=(0,1,0;0,0,0)

(11)

由式(11)可见,在此位形下杆AB的瞬时自由度为1,作绕y轴的连续转动,此时杆AB不能再绕x轴转动,称此位形为运动模式B。

综上可见,所述单环闭链具有两种互斥的单自由度转动运动模式,初始位形为两种运动模式进行切换的运动分岔点,初始位形即为单环闭链的约束奇异位形。

2 运动分岔混联支链

2.1 无约束模式

考虑到单环闭链的运动分岔特性,可将其引入到运动分岔混联支链的设计,构建具有不同结构约束的混联支链。如图4所示为初始位形下的混联支链,单环闭链的输出构件杆AB与串联支链的杆EF为移动副连接,杆EF与杆FG也为移动副连接,杆FG与杆GH在G点通过转动副连接,混联支链末端H点为连接动平台的转动副,H点和G点的转动副轴线相交于点N。

图4 无约束模式下的运动分岔混联支链

图4中运动螺旋＄rx和＄ry代表单环闭链在初始位形下分别绕x轴和y轴的瞬时转动,运动螺旋＄p1和＄p2、＄r1和＄r2分别代表串联支链两个移动副和两个转动副,＄p1和＄p2分别与杆AB正交和平行,＄p1和＄p2正交,＄r1与B点转动副同向且与＄r2相交于点N。混联支链在初始位形下的运动螺旋系为

(12)

式(12)表明,初始位形下,混联支链运动螺旋系秩为6,混联支链无约束,称其为无约束模式。

2.2 约束力偶模式

当单环闭链由初始位形切换为运动模式A,混联支链也相应切换为如图5所示的约束力偶模式。此时单环闭链等效为运动螺旋＄rx,混联支链的运动螺旋系也相应变为5系螺旋,当前位形下的运动螺旋系为

(13)

此时,运动螺旋系的反螺旋为

＄r=(0;sr)=(0,0,0;0,-cH,bH)

(14)

由式(13)和(14)可知

srx·sr=sr1·sr=sr2·sr=0

(15)

式(14)表明,在此模式下,混联支链存在一个约束力偶。式(15)表明,srx与sr1组成一组轴线平行的线矢量,sr2为另一组线矢量,两组线矢量的公法线方向即为约束力偶方向,因此称其为约束力偶模式。

图5 约束力耦模式下的运动分岔混联支链

2.3 约束力矢模式

当单环闭链由初始位形切换为运动模式B,混联支链将相应的切换为如图6所示的约束力矢模式。此时单环闭链等效为运动螺旋＄ry,混联支链运动螺旋系为5系螺旋,此时运动螺旋系为

(16)

用xN和zN表示N点x和z向坐标,则有eG=xNsinβ+zNcosβ,eH=zNaH-xNcH。对式(16)取反螺旋得结构约束为

＄r=(0,1,0;-zN,0,xN)

(17)

式(17)表明,在当前位形下,混联支链存在一个与y轴同向,且过N点的约束力矢,因此称其为约束力矢模式。

图6 约束力矢模式下的运动分岔混联支链

3 运动分岔并联机构

利用3条对称布置的混联支链连接定平台和动平台,可得到如图7所示的运动分岔并联机构。每条混联支链末端两个转动副的交点都汇交于动平台的转动中心N点。建立全局坐标系o0-x0y0z0于定平台的几何中心,建立局部坐标系oi-xiyizi于各混联支链的Ai点,i=1～3。x0与x1同向,o0与oi共面,设o0到oi的半径为rb。为保证3条支链的约束力矢和约束力偶为不共面的不同结构约束,z0与zi间存在一个夹角γ。

图7 3T3R运动模式

3.1 3T3R运动模式

当3条混联支链均为无约束模式,则3条混联支链无结构约束作用于并联机构的动平台,并联机构当前位形下的瞬时自由度为6,其具有3T3R(T表示移动,R表示转动)运动模式。瞬时的3T3R运动模式为运动分岔并联机构不同运动模式进行切换的初始位形。

3.2 3T运动模式

(18)

(19)

如用rot(k,θ)表示绕k轴旋转θ角,则

Ri=rot(z0,φi)rot(x0,γ)

(20)

式中:φi=2(i-1)π/3。由式(14)和式(18),可得动平台的约束螺旋系为

(21)

式中:δ1=cHcosγ+bHsinγ;δ2=-cHsinγ+bHcosγ。

式(21)表明,在当前模式下并联机构存在3个不共面的约束力偶,它们约束了动平台的三维转动,此时动平台作如图8所示的3T运动。

3.3 3R运动模式

当全部混联支链均切换为约束力矢模式,则将存在3个约束力矢作用于动平台。由式(17)和式(18),可得全局坐标系下的约束螺旋系为

(22)

式中:δ3=zN+rbsinγ;δ4=xNsinγ;δ5=xNcosγ。

式(22)表明,此时存在3个相交于N点且不共面的约束力矢,它们约束了动平台的三维移动,动平台作如图9所示的3R运动,转动中心为N点。

图8 3T运动模式

图9 3R运动模式

3.4 2T1R运动模式

如设混联支链一切换为约束力矢模式,混联支链二和三切换为约束力偶模式,由式(14)、式(17)和式(18),可得全局坐标系下的约束螺旋系为

(23)

式(23)表明,此时存在一个约束力矢和两个约束力偶,它们约束了动平台的一维移动和二维转动,动平台作如图10所示的2T1R运动。

图10 2T1R运动模式

3.5 1T2R运动模式

如混联支链一切换为约束力偶模式,混联支链二和三切换为约束力矢模式,由式(14)、式(17)和式(18),可得全局坐标系下的约束螺旋系为

(24)

式(24)表明,此时存在一个约束力偶和两个相交于N点的约束力矢,它们约束了动平台的一维转动和二维移动,动平台作如图11所示的1T2R运动。

图11 1T2R运动模式

4 输入选取分析

根据输入选取原理[15],如刚化并联机构的全部输入副,动平台的约束螺旋系秩为6,则输入选取合理;如秩小于6,则输入选取不合理。

如同时锁死混联支链的两个输入副,则有＄rx和＄ry同时为0,此时混联支链的运动螺旋系变为

(25)

(26)

由式(26)和式(18),可得并联机构在全局坐标系下的约束螺旋系为

(27)

式(27)表明,如刚化输入副,动平台的约束螺旋系秩为6,因此输入选取是合理的,且全部输入副为机架副,有利于改善系统的动态性能。

5 结 论

(1)基于螺旋理论分析了一种单环闭链的运动分岔特性,其具有两种互斥的不同转动模式;将运动分岔单环闭链与四自由度PPRR串联支链相结合,得到一种具有无约束、存在一个约束力偶、存在一个约束力矢3种不同结构约束的混联支链。

(2)利用3条对称布置的混联支链连接定平台和动平台,得到一种具有运动分岔特性的并联机构;运动分岔并联机构具有3T3R、3T、3R、2T1R和1T2R共5种不同运动模式。

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