罗欢

【摘要】本文主要根据高职院校学生的特点和数学基础，对如何讲授极值和最值这个问题在教学方法上进行了改进。传统的教法是讲授函数单调性，极值再讲最值；现在，通过函数f（x）的图像，将单调性，极值和最值三者合一进行教学，利用导数，切线斜率及增减函数的知识将函数定义域划分区间，让学生从抽象的定义、定理中解放出来，转化为直观形象来理解极值和最值。

【关键词】导数 图像 最值 极值

【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0119-01

一、研究背景

经过实际的教学研究，发现高职学生学习的目的性不强，学习方法单一，学习情绪化较强，对感兴趣的东西学习积极性高，而对于理论知识则学习效率就比较低。鉴于这些问题在组织教学过程中必须注意理论结合实际进行教学，增强教学的生动性和趣味性，激发学生学习的兴趣。

二、函数极值、最值的研究

在生活中，许多实际问题都可归结为函数的极值或最值问题，如数学建模，路费与经费，最优化问题，保险，价格策划，航海，航空等众多领域上都有很重要的应用[1]。

定义设函数y=f（x）在点x0的某一领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x时，函数f（x）相应的有增量△y= f（x0+△x）-f（x0），若两个增量之比■，当△x→0时的极限■■=■■存在，则称此极限为函数y=f（x）在x0处的导数。

在直角坐标系xoy中，设函数f（x）在区间[a，b]上连续可导，如图1所示，任取xi∈[a，b]，过xi作函数f（x）的切线Ti，当 Ti平行于x轴时，则k=f '（xi）=0，我们把一阶导数为零的点叫作驻点，即图中x1，x2，x3，x4，x5都是函数f（x）的驻点。同时，可见函数f（x）在区间[a，x1]，[x2，x3]，[x4，x5]上有k=f '（x）>0，故函数f（x）是增加的。同理，函数f（x）在区间[x1，x2]，[x3，x4]，[x5，b]有k=f '（x）<0，故函数f（x）是增加的。

图1

函数f（x）图像在区间[a，b]上，以驻点为分界点把区间[a，b]分成了六个小区间[a，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]，[x4，x5]，[x5，b]，在驻点X左边的区间上任取该区间上的一点α，有f '（α）>0；右边的区间上任取该区间上的一点β，有f '（β）<0时，则称X为函数f（x）的极大值点（图中呈凸状），f（X）为函数的一个极大值。在驻点X左边的区间上任取该区间上的一点α，有f '（α）<0；右边的区间上任取该区间上的一点β，有f '（β）>0时，则称X为f（x）函数的极小值点（图中呈凹状），f（X）为函数的一个极小值。

函数f（x）=■的极小值点在x=1处取得极小值，但是在x=1处函数的导数不存在。说明了导数不存在的点也可能是极值点。

可导函数的极值点一定是函数的驻点，但是，函数的驻点一定是极值点吗？如图2所示，函数f（x）过x1，x2，x3，x4点的切线的斜率ki=f '（xi）=0（i=1，2，3，4），即x1，x2，x3，x4是函数f（x）的驻点。在区间[x1，x2]上有f '（x）>0，区间[x2，x3]上有 f '（x）>0，则在点x2处不存在极值点。所以函数的驻点不一定是极值点。

我们可以利用极值的必要条件和第一充分条件或者用极值的第二充分条件来求解极值。

函數f（x）在闭区间[a，b]上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，f（x）在[a，b]上一定取得最大值和最小值。如果最大值和最小值在区间（a，b）内取得，那么这个最大值和最小值一定是极大值和极小值。又由于函数f（x）的最大值和最小值可能在区间的端点处取得，因此，求函数f（x）在区间[a，b]上的最大值最小值时应计算出端点处的函数值，并把这些值加以比较，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值[2]。

三、总结

在实际教学中，通过“文字与图像”结合的方式来组织教学，较好的完成教学任务，使学生懂得了研究极值和最值知识是应用数学重要的理论基础之一，是生活生产中的必需品。通过对函数极值、最值的求解，反过来，事实告诉我们，只有掌握了函数极值和最值的理论知识，才能更好地运用到实际生活中，使我们的生活变得快捷、有效、省事、省力。

参考文献：

[1]万金宝.工程应用数学[M].北京：机械工业出版社，2009.140-147.

[2]李庶民.微积分基础教程[M].北京：高等教育出版社，2016.121-130.