冯宇杰

2006年，周以真教授对西蒙·派珀特博士在1996年提出的计算思维进行了系统的阐述，她认为：计算思维是当代每个人必须具备的思维能力和基本技能。这一理念提出后，受到了国内外的广泛关注，并在计算机教育和工程应用中进行了很多有益的探索和尝试，以期将计算思维的培养扩展到各个研究领域。计算思维是随着计算机的发展而体现出来的，以人脑为活动主体，以算法為灵魂的构造思维，是推动人类文明进步和科技发展的三大支柱之一。线性代数是一门兼具理论抽象和实际应用紧密结合的课程，充分挖掘出蕴含在这门课程各知识点背后的计算思维思想和方法，和我们的日常思维有机地结合，并体现在其他课程的学习和实践环节中，对提升我们的学习效率和效果，培养我们的学习能力、计算思维能力和创新协作能力具有重要意义。

一、线性代数中蕴含的计算思维

线性代数是理工科学生的基础课程之一，广泛地应用于物理学、力学、信号与信号处理、通信等学科。和其他基础课程相比，内容相对复杂，对象抽象。线性代数着眼于事物的总体，它从考察事物的总体出发抽出问题和讨论问题，再从事物的变化和关联中寻求分析问题的途径、解决问题的方法，而这正是计算思维的一种表现方式。

1.线性代数中蕴含的系统分解、转化和约简思想

计算思维是人们通过约简、转化和仿真等方法将要解决一个复杂问题重新阐释成一个知道问题怎样解决的方法，是采用抽象和分解来控制庞杂的任务或进行巨大复杂系统设计的方法，或对一个问题的相关方面建模使其易于处理的思维方法。线性代数中多个内容都采用了在异中求同、化繁为简、各个击破的思想，正是这种思维的体现。如行列式的展开、矩阵的分块求解、初等变换、求解线性方程组的过程、化二次型为标准型、基变换与坐标变换等内容中均体现出了约简的思想。通过这种变换，将复杂的计算化简成已知解决方法的问题，简化了计算过程，提高了计算效率。

2.线性代数中蕴含的启发式推理思想

在线性代数多个知识点的讲解中，均利用了启发式推理的计算思维方法来寻求问题的解答。如由低阶行列式的计算过程推理出n阶行列式的计算方法、由二维表格引出阶矩阵的概念、由低维线性方程组的消元法求解过程引出矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，进而有了标准矩阵和矩阵的秩的概念、由向量组的秩和线性相关性推出线性方程组解的结构等，都自然地体现了启发式推理的这种在不确定情况下的规划、学习和调度的思想方法。

3.线性代数中蕴含的递归思想

递归是计算思维的重要组成部分，同时也是一种常用的解决问题的思维方式，在现代很多领域中都有直接的应用。递归思想在线性代数的多方面都有体现，如范德蒙行列式的证明；向量组的秩和向量组线性相关性的判断；方阵的特征值间的关系和对应的特征向量是否线性相关的判断；通过初等变换求矩阵的逆；求向量空间的规范正交基；等等，这些均直接或间接地体现出了递归思想。

4.线性代数中蕴含的可靠性保障思想

初等变换是研究矩阵、行列式、线性方程组及线性空间的最主要的思想方法。对特定对象进行初等变换时，不但可以化大为小，化繁为简，而且能够在变换的过程中保持这些对象的某些重要性质不变，因此初等变换成为线性代数中广泛应用的一种思想。如求解线性方程组和矩阵方程、计算行列式、计算特征多项式、求特征值和特征向量、求二次型的标准型等都蕴含了计算思维中可靠性保障思想。

计算思维还有其他多种释义，如选择合适的方式去陈述一个问题、利用海量数据来加快计算、在时间和空间之间进行折中的思维方法等，它们均在线性代数中有直接或间接的体现。所以，在线性代数的学习中，要善于充分挖掘隐藏在各知识点后面的计算思维思想，使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，促使矛盾向更容易解决的方向转化。

计算思维既是数理思维的一个子集，也是工程思维的一个子集，这种思维符合认识论的一般规律，因此学起来更简单，用起来方便，也可以进一步推广到其他学科的学习中。

二、案例

1.基于计算思维梳理教材内容

基于计算思维的思想，将线性代数课本中的主要知识点，按照从具体到抽象，从实际到理论的认知规律重新梳理和组织，应用到后续的学习中，不但能较好地提高学习效率，同时也在学习的过程中自然地培养了我们的计算思维，提升我们的学习能力和对重点内容的把握能力。

对知识点的梳理应在对主要知识点把握恰当的基础上，从应用角度进行合理组织和整合，将相关的理论知识和某类应用进行对应，在此基础上再根据需求提出问题——分析讨论解决问题的方法——归纳出必要的概念和结论。

2.实例

以下以线性方程组的解为线索，应用蕴含在线性代数各知识点后的计算思维设计的学习方案进行讨论。

（1）从应用角度梳理和组织已有知识，设计学习方案并提出问题。在学习完行列式知识后，引入了克莱默法则以求解一类特殊的n元线性方程组，但对该法则的理解和具体应用的掌握还不够深刻，应采用循序渐进的原则讨论一般的n元m个方程的线性方程组的解的情况。以下根据求解此类方程组的应用，设计了案例和问题。

案例：求解一个n元m个方程的线性方程组。

问题：解的存在性、唯一性及解的结构。

（2）由特殊到一般组织思路，分析和讨论问题的解决方法。在分析上述问题时，会先想到使用消元法求解，但消元法仅适用于m=n且n较小时情形。当n较大时，可使用克莱默法则。再以克莱默法则的合理性和局限性为出发点，进一步组织知识结构，引出矩阵和向量的有关内容，以证明克莱默法则和求解m≠n的线性方程组问题。

（3）归纳概念，得出结论。在解决上述问题后，自然会想到m≠n时的线性方程组的解的情况，在分析问题的过程中，进一步将矩阵的初等变换、矩阵的秩、向量组的相关理论等知识点列入了复习线索，在探索解决问题的过程中自然而然地复习了相关的知识。

综上所述，通过分析线性代数中蕴含的计算思维并将计算思维引入线性代数的复习和学习中，围绕“计算”这一核心，以应用为出发点，选取恰当的案例，便可将课程内容按照一种新的思维重新组织，化抽象为具体，化特殊为一般，形成一种高效的符合认识论规律的学习方案。这可以促进我们学习的主动性和利用有关知识解决专业问题的自觉性，更好地培养我们的计算思维和创新意识，对增强将来服务社会的能力有极大的帮助。

参考文献：

[1]陈国良，董荣胜.计算思维与大学计算机基础教育[J].中国大学教育，2011（1）：7-11.

[2]李选海，王 欣.线性代数中的思想方法[J].海军大连舰艇学院学报，2002（2）：67-68.