黎品秋

[摘要]一条直线上有一个直角三角形，再构造两个直角三角形，整体看起来像是一个梯形，然后利用相似或是全等三角形的特征就可以轻松解题，我们把这种模型叫作“一线三直角”模型.研究此模型能开阔学生视野，提高学生解题能力.

[关键词]初中数学；一线三直角；全等三角形；相似三角形

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08002702

对于初中生来说，面对条件和图形都看起来相当复杂的几何综合题，他们往往无从下手.因此我们需要针对复杂的几何综合题总结出一套模型，为学生提供解题思路，增强学生的自信心.而构造“一线三直角”就是解决几何综合题的一种常见而又非常好用的解题方法.

一、真题重现

初中几何问题中有一类几何题是和解析函数相关联的，相对于单纯的几何问题其难度更大，题目更复杂.下面就以一道与抛物线有关的几何中考真题来解析“一线三直角”解题方法.

【例1】（2016年玉林中考题）如图1，抛物线l：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴为x=1.

（1）求抛物线l的解析式.

（2）将抛物线l向下平移h个

单位长度，使平移后所得抛物线的顶

点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围.

（3）如图2，设点是P抛物线l上的任一点，点Q在直线l：x=-3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.

析与解：

（1）y=-x2+2x+3.

（2）2≤h≤4.

（3）设P（m，-m2+2m+3），Q（-3，n）.

①当点P在x轴的上方时，如图3，过点P作PM⊥y轴交直线l于点M，过点B作BN⊥

MP交MP的延长线于N点.因为B（3，0），△PBQ是等腰直角三角形，所以∠BPQ=90°，BP=PQ.因为∠PMQ=∠BNP=90°，所以∠PQM+∠MPQ=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，则∠PQM=∠BPN，所以△PQM≌△BPN（AAS），则PM=BN，因为BN=-m2+2m+3，PN=3-m，且有MP+PN=MN=6，所以-m2+2m+3-m=6，解得m1=1，m2=0.所以P1（1，4），P2（0，3）.

在上述真题的解题过程中，我们可以从题目中清晰地看到一个直角三角形，进而想到利用“一线三直角”的方法.但并不是所有的题目都是这样的“友好”，有时，我们要想用自己的某些方法解题就必须想方设法构造条件.比如说，作辅助线、连结一些已知线段等.笔者以下面这道模拟题为例，解析如何构造“一线三直角”.

二、举一反三

【例2】（2016年潮州中考模拟题）如图5，直线AB与反比例函数y=6x的图像交于A（2，3）、B（-1，-6），点P在第三象限的反比例函数图像上，若tan∠PAB=47，求点P的坐标.

解析：如图5，过点B作AB的垂线交AP的延长线于点C，过点B作x轴的平行线MN，分别过点C、A作直线的垂线段CM、AN.此时，在直线MN上构造了“一线三直角”.则△ANB～△BMC，所以BMAN

=CMBN

=BCAB

=tan∠PAB=47

.由A（3，2），B（-1，-6），可知AN=8，BN=4，则

BM8=CM4=47

，所以BM=

327，CM=167

.又因为B（-1，-6），故C-397，-267.利用待定系数法，求得直线AC

的解析式为y=23x，其图像经过原点.根据对称性可知，点A、P关于原点对称，所以点P的坐标为（-3，-2）.

解决本题的难点在于如何利用tan∠PAB=47，也就是说构造了直角三角形后如何继续求解答案.很多学生最先会想到过点P作AB的垂线段，但由于垂足位置不确定，三角函数值无法使用.而过定点B作AB的垂线与x轴的平行线再构造“一线三直角”，却很好地解决了这个问题.

三、总结提高

上述真题是几何题与抛物线二次函数解析题的综合应用题，考查用待定系数法求出抛物线的解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识.我们在解答上述（3）小题时使用了“一线三直角”的几何模型，由此我们也可以得到启发：有的时候顺着题意利用勾股定理建立方程求解，计算过程往往繁杂，而使用“一线三直角”模型解题会使运算变得简洁明了.需要注意的一点就是思考问题时一定要全面，避免丢解.事实上，“一线三直角”是一种几何模型，更是一种思想方法，是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构.在教学中，我们要时刻注意积累这样的数学模型或是方法，总结归纳，并培养学生们利用模型解题的能力，简化解题过程.

通过上述两道题的解析可以看出，“一线三直角”模型的运用范围很广，学生不仅要学会利用该模型进行解题，同时还要学会根据题目条件构造模型.构造模型中直角三角形时主要有以下几种方法：作辅助线、连结已知点、动点特殊位置.另外需要注意的是，在动点问题中利用“一線三直角”模型，一定要思虑周全，对可能出现的情况逐个分析.虽然“一线三直角”模型很好理解，但如何根据具体题意选择合适的三角形构造正确的模型对于学生来说是难点，这需要进行相关的针对性练习.因此在教学中，我们要鼓励学生敢于利用模型解题，并且养成良好的归纳总结的习惯，这对提高他们的解题能力和思维的敏捷性大有益处.

[参考文献]

[1]张进.巧构“一线三直角”模型妙解二次函数综合题[J].初中数学教与学，2017（8）.

[2]张建权.再谈“一线三直角”几何模型的运用[J].初中数学教与学，2017（1）.

[3]徐长存.溯源提炼模型解题彰显能力[J].初中数学教与学，2017（9）.

（责任编辑黄桂坚）