杨冠

摘 要 高等数学乃高校教学过程中必不可少的一门课程，然而其内容多，逻辑性强，抽象性高等特点，导致教学过程变成“教师教，学生学”的状态，为了缓和这种僵硬的教学模式，现对高校高等数学教学的改革做了一些探讨。本文利用符号计算软件Mathematica，对高等数学工科类的教学课时做了简单的分配，同时在各章节中的极限、导数、积分分别举了例子，学习Mathematica的命令语句编写，函数调用等格式，并介绍引入数学建模案例在教学中的重要性。

关键词 高等数学 Mathematica 数学建模

中图分类号：G640 文献标识码：A

0引言

如今，学生的综合素质能力和创新能力是我们所关注和着重培养的，而对于数学这类基础性学科，普遍学生学习起来既枯燥又抽象，若能结合计算机软件方面的实现，使得数学知识更直观、更容易理解便成了一个重要的课题。高等数学是我校大一新生入校后就开设的重要基础课程，课程内容多，教学课时少，且逻辑性比较强，具有高度的抽象性，而学生的基础参差不齐，有的基础较好，掌握的内容可以多样化，除了教材上要求掌握的内容之外，还可以穿插一些考研试题在内，让学生更深入了解数学的定义、实例，以及能运用到实际生活中；而有的学生基础较差，对于书本知识可以听懂、会做课后练习就已经是最好的效果，然而日复一日，通过常规的教学后发现，学生的学习积极性在逐渐消退，这对我们教师的教学也就提出了挑战。针对这些状况，近几十年来许多院校对高等数学课程的改革进行了一些讨论研究，提出了调整优化教学内容和体系，开设数学实验和数学建模课的设想，还有许多文献研究了数学建模和数学实验的系统模式，对如何通过这门注重理论联系实际的课程培养学生的想象力、洞察力、直觉思维、发散思维、动手能力，以及应用能力和创新能力进行了探索。由于高等数学课程本身所具有的特点，在教学实践的过程中不能完全抛弃传统的教学方式来进行推理、论证，因此试行将数学软件融入教材内容、教学过程、学习过程、实践与评估过程等的教学改革中。

1数学软件的介绍

Mathematica是美国Wolfram研究公司开发的符号计算系统，是Mathematica产品家族中最大的应用程序，内容丰富并功能强大的函数覆盖了初等数学、微积分和线性代数等众多的数学领域，是一个做数学和学数学的软件。Mathematica是模块化系统，能够支持任意精度的数值计算、符号运算及可视化功能，其执行运算的内核（Kernel）与处理用户交互的前端（FrontEnd）是相互分离的。与同类软件Matlab相比，其安装方便、启动快捷、编程简单，因此作者选择Mathematica软件作为主要工具来研究。

2 Mathematica软件嵌入教学课时分配方案

由于高等数学课程分为两个学期来教学，其中上学期占的学时重，基础内容多，下学期相对教学学时少，内容主要集中于多元函数方面，在Mathematica嵌入教学过程中时，需占据部分传统教学课时，作为一门计算工具，它又不能超越教材而只注重软件的使用介绍，故能对课时做合理的安排是非常关键的，现对教学课时分配如表1，仅供参考。

在原课时的基础上，对其中部分章节多加入0.5-1个学时，增加数学建模示例的课堂讲解，通过Mathematica软件的一些计算，使得高等数学的课程更充实、更具有挑战性，不仅对教师，也对学生提出更高的要求。

3利用数学软件的基础知识来丰富教学内容

数学软件Mathematica的基础命令调用较容易，操作简单，课堂上对该软件的功能做简介后，主要在以下几个方面来简要阐述如何进行嵌入教学。

3.1函数极限的体验教学

3.1.1 一元函数极限的体验教学

在高等数学教学至今， 一元函数极限的手工计算一直以来都是大家所推崇的，然而对于一些抽象的或证明稍长的极限，基础较差的学生并不愿意去深入研究它的过程，所以若能直观的得出想要的结果，利用数学软件来实现更能得到学生的亲睐。

例1 单调有界数列必有极限的存在准则证明了重要极限二（1+）=，教学过程中调用计算函数极限的命令： [f[x]，x→x_{0}]，验证其极限值。调用函数格式为Limit[（1+1/x）^x，x->Infinity]或者Limit[（1+x）^（1/x），x->0]，運行结果均为e。

例2 函数极限与数列极限的关系定理发现，sin极限不存在也不为无穷大。通过作图命令Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi/10，Pi/10}]，得图1。很显然，当x无限接近于0时，sin（1/x）在数值1附近无限次震动，没有任何趋近某个固定常数的趋势，结论得证。通过该示例告诉我们，图形是教学中很好的辅助解释。

3.1.2二元函数极限的体验教学

二元函数极限的计算较一元函数极限计算难，对自变量（，）→（，）的要求较高，但若某个二元函数的极限存在，计算过程却类似于一元函数，当学生对一元函数极限掌握较好时再算二元函数的极限也是容易的。所以，二元函数极限的难点在于证明极限不存在的情况。可采取如下做法：二元函数z=的图形是一张曲面，通过数学软件做出二元函数的图形，观察已知点处的极限，再结合证明过程进行分析。

3.2导数计算示例

本小节主要对隐函数和参数方程的导数进行探讨。

3.2.1隐函数的导数计算

隐函数即因变量不一定能用自变量直接表达，而是由类似于方程所确定的函数。通过公式手动计算方程两端的导数可以得出，借助于数学软件的操作却略显繁琐，在Mathematica中求隐函数的导数由求导和解方程两个步骤组成。

例3 求方程+ln=所确定的隐函数的导数，步骤如下：

大学的教育还包括锻炼学生的自学和自我思考的能力，在没有教师指导的情况下需要他们自己会验证结果的正确性，虽然该过程需分两步进行，但也是值得学生去操作和学习的，并且还可以考虑高阶导数如何继续利用Mathematica求解。

3.2.2参数方程的导数计算

参数方程的导数为因变量对参数的导数除以自变量对参数的导数，根据教学大纲的要求，工科类学生至少掌握到参数方程的二阶导数，但公式的记忆是学生容易混淆的，通过示例的讲解，能加深记忆。

例4 计算由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。

最后一行通过化简可得。从示例可见，利用软件求解参数方程导数时，不仅会调用求导命令外，还需学生先记住导数公式，在输入变量、参数等过程中同时也加深了对公式的掌握，另数学公式的记忆不能靠死记硬背，其中的原理必居首位。

3.3符号计算系统中的积分

3.3.1不定积分

不定积分的题目类型众多，教材课后练习、各种习题集中的题目让学生看得眼花缭乱，使得不定积分的积分方法忘记得一干二净，并且积分结果的不唯一性也给学生带来巨大的困难，常常导致否定自己的计算结果。在Mathematica强大的符号运算功能前面，各种积分方法显得微不足道，通过不定积分的语法Integrate[被积函数，积分变量]或利用工具栏按钮即可求出。

3.3.2定积分

高等数学最重要、最具有代表性的概念—定积分，定积分概念是高等数学中的一个精华，它体现了应用微积分的思想和方法，它几乎涵盖了所有的自然学科。对定积分的计算是高等数学课程中的重要知识点之一。它在符号计算系统软件Mathematica中的语法区别于不定积分，仅增加了积分变量及积分上下限。例如计算。

重积分的计算中，首要解决的问题是做出积分区域 的图形，通过对平面图形或空间图形的分析和积分区域的确定，借助积分的计算命令可得结果。例如三重积分的一个例子：，其中 由抛物面及所围成。立体积分区域的确定是至关重要的，若在黑板上作图，不能保证作图的准确性，给学生理解造成困难。若利用Mathematica作图，命令语句和图形（如图2）显示如下：

4利用数学软件的综合知识来提高教学效果

高等数学的教学过程中融入数学建模的思想可以给学生直观上的感受，引导学生自主学习，还可以使得学生利用数学知识作为工具去解决实际问题。Mathematica能求解线性与非线性的常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。例如在讲解常微分方程这一章节时，可以插入数学建模的思想，通过对实际问题的分析，建立模型，引入数学软件Mathematica求解，这一系列的过程可以让学生逐渐享受数学、享受建模。

例5 设有一质量为m的质点做直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用。求质点运动的速度与时间的函数关系。

解答：根据牛顿定律，得出方程m=k1t k2v，可化简为一阶线性微分方程+v=t，利用软件求解如下：

为了语句编写方便，其中记k1→M，k1→m。v（t）的通解、特解都与通过常数变易法的结果一致。该示例难易程序低，教师可根据学生层次提高题目难度（例如如何求出数值解等）、分析过程加长、程序增多等方法来提高教学效果。

5结束语

本文在极限和积分部分考虑了一元和多元的情形，结合图形分析求解可以提高教学的准确性，给学生传达知识的方式呈现多元化，也给手动计算结果提供了验证方法。

在高等数学的教学过程中发现，学生出现的状况多种多样，由于篇幅有限，文章仅讨论了学生学习中易错、难记等方面的实例，并且只针对高等数学工科学生，未增加实践学时，这乃其中一大缺陷，希望在今后的教学中能有所改善。

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