张志华　余隆兰

[摘 要] 文章先从不定方程的一个特例入手，借助向量的工具进行处理得到唯一解，这启发我们去思考其几何意义：平面与球面相切，切点是唯一一个交点，其坐标即为方程组的解. 在此基礎上进行变换与推广，就得出了一类不定方程组ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同号），Ax+By+Cz=D的完全解.

[关键词] 不定方程；向量法；完全解

一些数学问题经过转化，最终可变成三元二次方程ax2+by2+cz2=d在限制条件Ax+By+Cz=D下解的情况，即求解不定方程组ax2+by2+cz2=d，Ax+By+Cz=D，所以有必要对这类方程组加以深入研究. 若给出一个限制条件：a，b，c，d同号，我们便能得到其完全解.

一个特例

先从一个特例入手：求解方程组x2+y2+z2=，①-8x+6y-24z=39.②

分析：咋一看，三个未知数两个方程，未知数的个数多于方程的个数，似乎解不出来.若我们采用消元的思想，将②式变形为z=-x+y-，代入①式，再往下计算也极其烦琐，而且未必解得出来. 那是否我们就束手无策了呢？

仔细一琢磨，我们从①②两式的几何意义入手，①式表示以原点为球心、半径为的球面，②式表示空间中的一个平面. 这样我们很容易联想到借助向量方法来处理.

解析：设a=（x，y，z）为方程组的任意一组解（向量表示式），

b=（-8，6，-24）（表示平面的法向量），

则a·b=-8x+6y-24=39

另一方面，a·b=a·b·cosθ

=··cosθ

=39cosθ（θ为向量a，b的夹角），

所以39cosθ=39，cosθ=1.

注意到θ∈[0，π]，故θ=0.

从而a与b共线，则存在非零实数t∈R，使得===t，

即x=-8t，y=6t，z=-24t，代入②，即得t=，x= -，y=，z=-.

验证知x=-，y=，z=-是方程组的解.

反思：未知数的个数多于方程的个数，但却只有唯一的解，这意味着什么呢？联想到两个方程的几何意义，只有这样一种情况：平面与球面相切，切点是唯一一个交点，其坐标即为方程组的解. 我们只需检验球心O（0，0，0）到平面π：8x-6y+24z+39=0的距离ρ是否等于球的半径r即可，ρ===r，ρ果然恰好等于r！……