北京市第一〇一中学 谢 卫 贺丽珍

在高三的教学实践中，求解导数综合问题对学生的思维能力要求较高，是培养学生思维能力的好素材。我们尝试在导数综合问题的教学中通过有效地设计教学过程，逐步引导学生克服思维障碍，打破思维瓶颈，明晰思维过程，提升思维品质。

下面以“高三复习课：导数综合应用复习”为例，来谈一谈如何在高三专题复习课中提升思维品质，发展学生的数学素养。

一、围绕教学目标，精心设计数学问题

若想充分发展学生的数学素养，首先要留给学生充分的思考、讨论、质疑的时间，让生生对话、师生对话充分进行。一节课的教学内容不宜安排太多，应该少而精，选取能充分承载本内容所体现的数学思维特点的问题。比如，本节课只探讨了一个问题。

问题：已知关于x的函数f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）当a=0时，求证：不等式f(x)≤x-1在区间（0，＋∞）上恒成立；（2）若在区间 ［1，＋∞）上，函数f(x)的图象不出现在直线y＝x-1的上方，求a的最大值。

本题改编自2016成都模拟，原题是：

已 知 关 于x的 函 数f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）求函数f（x）在点P（1，0）处的切线方程；

（2）若函数f（x）有极小值，试求a的取值范围；

（3）若在区间［1，＋∞）上，函数f（x）不出现在直线y＝x-1的上方，试求a的最大值．

原题第（1）问是求在（1，0）处的切线，我们对第（1）问进行了改编：证明一个重要不等式ln x≤x-1，无论是把不等式恒成立问题转化为构造函数进行研究的思路，还是这个不等式本身的结论都为第（2）问不等式恒成立求参数取值范围的解决提供思想方法和结论的支持。而且我们发现，很多函数问题都是在这些重要不等式的基础上添加参数形成新的问题，都是由这些重要不等式生成的问题。……