任卫兵 徐明

[摘 要] 文中徐明老师采用“稚化思维”分解应用题难点，通过追忆，点明两个关键点：理清数量关系，引入变量并建模；通过动手操作，突破变量引入的困惑点：以合适的角度设置边、角、点等变量；不失時机地引导、启发、点拨、评价、矫正，让学生感悟数学问题的本质，提升学生的数学素养.

[关键词] 应用题教学；合作探究；数学素养

2017年4月28日，连云港市高中数学学科领军人才培养对象第四次培训活动在江苏省海州高级中学举行. 本次活动的主题是“提高高考应用题复习效益、切实解决应用题教学问题、提高学生应用题解题能力”. 应用题是一类以实际问题为情境，围绕客观实际进行设问的试题，它不仅涉及数学知识和方法，还涉及生活、生产、社会和自然界中的问题，往往让学生感到难以下手. 但由于应用问题能比较全面地考查学生综合运用数学知识分析和解决问题的能力，因而成为历年江苏高考的一道独特风景线.

本次活动共有八位教师同上应用题解题研究课，笔者作为培养对象，全程参与了听课以及后面的专家点评. 八位教师都精心地做了课前准备，课堂教学过程精彩纷呈. 其中，让笔者最受启发的是江苏省东海县教师进修学校徐明老师执教的《应用题破解策略》探究活动课. 为了分解难点，逐个击破，徐老师“稚化思维”，通过对小学和初中应用题的追忆，点明解决应用题的两个关键点：理清数量之间的关系，合理引入变量并建模；通过学生的动手操作（“折纸”实验），突破变量引入的困惑点：选择合理的动因，以合适的角度设置边、角、点等变量；在学生的活动过程中，不失时机地引导、启发、点拨、评价、矫正，让学生充分体会解决应用问题的基本流程和方式方法. 本文先给出徐老师的课堂实录，再谈谈笔者对本节课的一些思考，有不当之处敬请同行批评、指正.

■课堂实录

1. 情境引入

师：应用题是高考数学的必考题型，是决定学生成绩高低的分水岭. 你觉得求解应用题的困难在什么地方？

师：很多学生都感觉应用题难做，其实我们在小学时就已经开始求解应用题了. 比如“小学二年级1班有54人，二年级2班有48人，请问：（1）两班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人”，大家回忆一下，当时是如何解决这个问题的.

生1：第（1）问用加法，第（2）问用减法.

师：对了，我们当初觉得它很难，因为它已经涉及“数量之间的关系”（板书），这正是我们今天求解应用题首先要解决的问题. 小学四年级的时候，有这样一个问题：小红购买2支铅笔和3支圆珠笔共花去8元钱，小明购买同样的3支铅笔和3支圆珠笔共花去9元钱，请问购买1支铅笔和1支圆珠笔各需多少元. 作为小学生的你，当时是如何解决的？

生2：设每支铅笔x元，每支圆珠笔y元，则2x+3y=8，3x+3y=9，解得x=1，y=2.所以每支铅笔1元，每支圆珠笔2元.

师：很好，但你用的是初中的解法，你小学时会做这道题吗？

师：用小学知识求解，这是一道难题，但到初中，我们引入变量，列方程组，这就是一道简单题. 这说明，求解应用题，适当“引入变量，建立模型”（板书）至关重要，这也正是我们今天求解应用题的第二个关键步骤.

2. 探究生成

师：我们一起来思考如下问题——如果将一个等腰直角三角形纸片的一角（非直角）折叠，使其顶点落在对边上（如图1），你能提出什么问题？（投影PPT）

■

图1

（经过5分钟的小组讨论交流）

生3：（问题1）求S△DEP的最值.

生4：（问题2）求线段DE长度的取值范围.

生5：（问题3）求线段CD长度的取值范围.

生6：（问题4）求线段CE长度的取值范围.

师：非常好，同学们提出了很多问题. 那么，你知道这些问题的答案吗？

（学生一时没有结果）

师：请大家拿出一张等腰直角三角形纸片，自己动手折叠，尝试在折叠的过程中寻找问题的答案.

（经过5分钟的动手操作和小组讨论交流）

生7：当点P与点A重合时，S△DEP最小；当点P与点B重合时，S△DEP最大.

生8：线段DE长度的最小值为■AB，最大值为■AB.

生9：线段CD长度的最小值为■CA，最大值为CA.

生10：线段CE长度的最大值为■CB，应该也有最小值，但我不能确定它的值.

师：同学们通过折纸，探究出了一些结论，那么这些结论是否正确呢？我可以告诉大家，生7和生8的结论都是错误的. 这节课我们选择“（问题1）求S△DEP的最值”这一问题来进行研究，其他问题留给同学们课后完成.

例题：（投影PPT）如图1，在等腰直角三角形纸片ABC中，AB=AC=1，D，E分别是边AC，BC上的点，现沿DE所在直线将纸片折叠，使顶点C恰好落在边AB上（记为点P），求△PDE面积的最小值.

师：那么，如何求一个三角形的面积呢？

生11：常用的三角形面积公式有两个，即S=■ah（a为底边长，h为高）和S=■absinC（a，b为两边长，C为a，b边的夹角）.

师：通过刚才的折纸过程，你能发现一些边或者角之间的关系吗？

生12：通过折纸可以发现，△CDE≌△PDE，所以有CD=DP，CE=EP，∠CDE=∠PDE， ∠CED=∠PED，∠DCE=∠DPE=■等.

师：生12说得非常好，通过折叠的过程我们发现了一些边和角对应相等的关系. 请小组讨论如何设置变量，将S△DEP表示出来.

生13：（方法一）我们小组设边PD=CD=x，PE=CE=y（如图2），则AD=1-x，EB=■-y. 因为∠A=90°，所以AP=■=■，BP=1-■. 在△BPE中，由余弦定理EP2=BE2+BP2-2BE·BP·cosB，得y2=（■-y）2+（1-■）2-2（■-y）（1-■）·cos■，整理得y=■. 所以S△DEP=■·PD·PE·sin■=■，■≤x≤1.

■

图2

师：设△PDE相邻两边PD，PE为变量x，y，容易表示出△PDE的面积为■xysin■，难点是建立x，y之间的等量关系. 这里通过折叠前后的不變性，将x，y统一到△BPE中，通过余弦定理，用x表示y，进而将S△DEP表示为关于x的函数. 但你们是如何知道x的范围是■≤x≤1的？

生13：因为前面已经探究得到“线段CD长度的最小值为■CA，最大值为CA”.

师：非常好，写函数解析式时一定要注意定义域的范围. 我们能用解题过程中的相关信息来确定x的取值范围吗？

生14：显然x≤1，又1-x≤x，或■有意义，于是可得.

师：很细心！同学们还有其他表示S△DEP的思路吗？

生15：（方法二）我们小组设PD=CD=x，∠PDE=∠CDE=θ，■≤θ≤■（如图3），则在Rt△DAP中，DP=x，AD=1-x，∠ADP=π-2θ，所以cos（π-2θ）=■，即x=■=■. 在△DEC中，由正弦定理得DE=■=■，所以△DEP的面积S△DEP=■·DP·DE·sinθ=■，■≤θ≤■.

■

图3

师：生15通过设△PDE的边PD为变量x，∠PDE=θ，用θ表示x，并通过正弦定理表示出DE，进而将S△DEP表示为关于θ的函数. 我想问，为什么θ的范围是■≤θ≤■呢？

生15：当点P与点A重合时，∠CDE=■；当点P与点B重合时，∠CDE=■.

师：生13和生15准确地把握住了影响△PDE面积变化的关键量，进而合理设置自变量，利用折叠前后的不变量关系，建立关于△PDE面积的不同函数模型. 那么，同学们还有其他表示方法吗？

（同学们一时没有反应）

师：大家想一想，你在折叠纸片时是如何达成“折叠后的C点恰好落在边AB上的”？是不是先让C点落在边AB的某个位置上，再将纸片压平，确定折痕DE的位置？这一操作过程对你有什么启发？

生16：点C和点P关于DE对称，DE是CP的垂直平分线，因此可以考虑建立平面直角坐标系，用解析法求解.

师：观察很敏锐，大家试试看！

生17：（小组讨论后，方法三）如图4，以点A为坐标原点、AB为x轴建立平面直角坐标系，设P（a，0），0≤a≤1，则直线DE的方程为y-■=ax-■，即y=ax+■. 令x=0，得D0，■，直线DE的方程与直线BC的方程x+y=1联立，可求得点E的横坐标为■，所以S△DEP=■·CD·xE=■1-■·■=■，0≤a≤1.

■

图4

3. 反思提升

师：生13、生15、生17通过折纸发现了折叠型问题的一个关键点——对称. 通过边的对称和角的对称，可以得到一些边和角对应相等的关系，尤其不要忽视的是点的对称关系. 通过大家的努力，我们通过不同的观察角度：选边、选角、选点，设置了不同的变量，得到了S△DEP的三种表示方式，下面只要用导数这个工具，研究相应函数的单调性，求出最小值即可，这留给同学们课后完成.

通过今天的探究，同学们想一想处理最优化应用问题的一般步骤是什么.

生18：首先要读懂题目意思，分清条件和结论，弄清楚数量关系，在题目意思难以理解的时候，可以借助生活实例、实物、图形加以理解；根据题目条件和目标设置变量，建立函数关系式，且要注意变量的限制条件；再利用单调性、基本不等式、导数等工具求解数学结论；最后，要根据实际问题进行回顾，看看有没有需要舍去的解，并且不要忘记作答.

师：生18总结得很完整. 我们可以概括为“理顺数量关系、识别知识模块、寻找问题动因、巧设动因变量、建立目标函数、注意变量范围、求解目标函数、规范作答过程”. 同学们课后反思一下本节课的探究过程，希望对大家的应用题解答有所帮助.

■几点思考

1. 注重难点合理分解，稚化思维，逐个击破

应用题是江苏高考的难点问题，难的原因主要有：文字多、背景陌生、信息量大，从而难以迅速把握题意. 另外，纯数学题都有固定的知识模块以及相应的解题策略与方法，但应用题需要通过分析，进行模式识别，建立数学模型，没有固定的套路.

为了分解难点，徐老师采用“稚化思维”的策略，通过回忆小学、初中一些应用题的处理方法，让学生感受“数量之间的关系”和“引入变量、建模”的重要性，体现了数学发展的过程. 通过折纸操作，发现动因，思考如何选择变量建模，引导学生从不同的思考角度得到设边、设角、设点等不同的变量设置方法，从而得到同一目标的不同函数表示.

徐老师注重关键点处的点拨，比如课堂伊始，学生提出问题但暂时没有办法解决时，引导学生通过折纸活动来探究；在学生有了方法一和方法二后，引导学生通过点的对称得到方法三这一解析法. 教师在学生的活动过程中不失时机地引导、启发、点拨、评价、矫正，让学生充分体会到解决应用问题的基本流程和方式方法.

2. 合理设置探究活动，关注过程，悟透本质

应用题的抽象性、生活性特点决定了它不能像解答立体几何、解析几何、数列那样用固定的模式处理. 为了解决应用题的抽象性，徐老师先引导学生提出问题，并设置“折纸”探究活动帮助学生思考. 在课堂折纸活动中，学生全都在折纸，我们部分听课老师也在一起折纸探究. 通过动手折纸，还原了“原生态”的思考过程，明晰了问题的成因. 在经历“问题提出——问题思考——问题解决”的过程中，关注了过程与方法的并重、创新思维的生成、学习能力的提升，倡导学生自主思考的新课程理念，将解题教学过程变成一种指导学生自主探究、解决问题的过程. 有趣的折纸操作活动和平等的师生对话形式，让学生在动态的折叠过程中悟透“对称”这一本质，降低了应用题本身带给学生的心理压力.

在教学过程中，教师通过观察、操作、思考、交流、探究等形式，引导学生主动参与学习，在“做数学”中理解数学，明白其中的道理. 教学时我们应尽可能创设情境让学生亲身感受学习的过程，积极开展以探究式教学为主的灵活多样的教学方法，通过动手操作等活化数学知识，激发学生的学习兴趣. 在充分理解教学要求、教学理念的基础上，教师还应根据学生实际，从学生已有的经验出发，创设学生熟悉的教学情境，加强数学与现实生活的联系.

课堂教学是为了让学生在考试中取得优异的成绩，这是主要目的，但不是最终目的. 我们教学更重要的目的是“育人”，是培养学生的理性思维能力、数学素养. 教师要在教学中适时地引导学生，在小组合作探究中实现知识的自主生成，在自主交流中发展学生的思维能力. 学生一个人的思考有时是不全面的，甚至是不深入、不到位的，因此教师需要引导学生相互交流、集思广益，相互讨论，完善方法. 教师更重要的价值在于：在学生有困惑时能给予恰如其分的点拨，能以恰当的方式引导学生思考，能把教师对问题的理解转化为学生的理解，使学生悟透本质，自我提升.

3. 激励学生提出问题，解决问题，提升素养

苏霍姆林斯基说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探索者. 这指明了学生提出问题的内部动力——好奇心、认知冲突和质疑精神. 对于探究课的课堂教学，教师不仅自己要准备合适的问题，更要引导学生提出问题.

要上好探究课，教师首先要善于提出好问题. 所谓好问题，不是复述性问题，而是有思维容量的问题，但学生经过思考又是可以回答的问题，至少是有一些学生能够回答、大部分学生能够听懂的问题. 提问题，有多种提法：直问、曲问、反问、激问、引问、追问（唐士凯《数学教学基本技能》）等. 调整性提问，先问一个笼统点的问题，发现学生有困难，再提一个具体些的问题. 先大后小的提问，有时候比直接提小问题，更能激发学生的思维. 先小后大的提问方式，则有层层推进的作用.

在“探究生成”环节，徐老师问学生：“你能提出什么问题？”这是开放性提问，是激发学生提问的大问题. 让学生提出问题，是探究课的目的之一. 数学教学的一个重要内容，就是唤醒和激励学生内心的潜在能量. 教师要尊重和爱护学生的好奇心，充分理解他们在提出问题时的紧张感和焦虑感，并给予更多的鼓励和关注，让他们敞开心扉，自由地展现其灵性和个性. 数学课堂中思维的火花不断地迸发，提出问题成为一种愉快的心理体验，学生在问题的提出和解决过程中，逐步会用数学的眼光观察周围的世界.

实践活动是学生形成问题的基础和源泉，从中可以受到一定的启发而提出问题. 采用折纸这种简单有趣的数学活动，能让解题思想和方法在学生手中“油然而生”. 通过对折纸过程进行分析和思考，学生心里的问题会得到解决，对折叠的“对称”性质也就有了深刻的认识. 教师在教学中应放开双手，放松心态，让学生自己去经历和发现，让他们在提出问题和解决问题的过程中感悟数学问题的本质，提升学生的数学素养.

《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的. 數学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力. 高中阶段的数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 这些核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机体. ”这些核心素养，在应用题的解决过程中都有体现. 高中数学要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，着力创设有利于培养学生数学核心素养的教学过程.