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(金华市第一中学,浙江 金华 321015)

在初等数论中，形如an±1(其中a,n∈N+)的正整数有着非常丰富的性质，在各种高中竞赛题中也经常出现.本文主要研究此类正整数竞赛问题以及在构造中的应用.

1 与多项式的关系

从代数角度来看，an±1型正整数容易进行因式分解，因此我们可以将其视为多项式来进行分析.

(第32届IMO预选题)

证明令x=525,则

(x2+3x+1)2-5x(x+1)2=

(x2+3x+1)2-526(x+1)2=

[(x2+3x+1)+513(x+1)][(x2+3x+1)-

513(x+1)],

于是N为两个大于1的正整数的乘积，不可能为素数.

2 结合阶以及两个定理的性质

在初等数论中有以下两个重要定理：费马小定理(若素数p不整除a，则ap-1≡1(modp))，欧拉定理(若正整数a,m互素，则aφ(m)≡1(modm)).an±1型正整数与这两个定理以及阶的定义形式相近，因此可利用它们来帮助解题.关于阶的定义及性质在各数论书上都有介绍，这里不作赘述.

例2设n是正整数，Fn=22n+1.设p为Fn的任一素因子，求证：p≡1(mod 2n+1).

证明显然p≠2.设2模p的阶为k，由

22n≡-1(modp),

(1)

得

22n+1≡1(modp),

从而k|2n+1，于是k是2的幂.

设k=2l(其中l∈N,l≤n+1).若l≤n,则将22l≡1(modp)两边同时平方n-l次,得

22n≡1(modp).

再结合式(1)，得 1≡-1(modp),

即p=2,矛盾.因此，l=n+1,即

k=2n+1,

由费马小定理知 2p-1≡1(modp),

故2n+1|(p-1).

注形如Fn=22n+1的数被称为费马数，形如Mp=2p-1的数被称为梅森数，关于它们的素数个数问题仍为未解难题，有兴趣的读者可自行查阅资料研究.

3 结合升幂定理的运用

先给出下面的定理：

定理1若x,y,n∈N+,p为奇素数，(x,p)=1,且p|(x-y)，则

vp(xn-yn)=vp(x-y)+vp(n)，

其中vp(m)表示正整数m中素数p的最高幂次.

证明分两步进行：

1)第一步证明当(p,n)=1时，vp(xn-yn)=vp(x-y).由于xn-yn=(x-y)(xn-1+xn-2y+…+yn-1),x≡y(modp),从而xn-1+xn-2y+…+yn-1≡nxn-1≢0(modp),即不为p的倍数.因此，当(p,n)=1时，

vp(xn-yn)=vp(x-y).

2)第二步证明vp(xp-yp)=vp(x-y)+1.设x-y=kpa(其中a∈N*),(k,p)=1,则

xp-yp= (y+kpa)p-yp=

(kpa)p-1+(kpa)p]-yp=

(2)

回到定理1，假设n=plm,其中l∈N,(m,p)=1.对l进行归纳：当l=0时，即为第一步证明.假设对l成立,则对l+1的情况,

vp(xn-yn)=vp(xmpl+1-ympl+1)=

vp[(xmpl)p-(ympl)p]=

vp(xmpl-ympl)+1=

vp(x-y)+l+1，

由归纳假设知对l+1亦成立.

综上所述，定理1成立……