●

(增城中学,广东 广州 511300)

对称是数学中的重要概念之一，一般是指在某种变换下保持的不变性，例如图形的轴对称或中心对称、数学结构的对称等.通过对称可看出数学与自然、生产和艺术之间存在着密切的关系，对称符合自然规律，满足生产需求，也顺应审美标准.正是因为如此，以对称为命题立意的题目广泛存在于各种试题中，且经久不衰.其中，利用函数的对称性质来解决求和问题是中学数学中常见的重点和热点问题之一.笔者对此类问题略作梳理，提出了初步的教学策略，并作简单的教学反思，权当抛砖引玉.

1 通过数形结合和特殊化思想引导学生理解对称函数的性质表征

性质1若函数f(x)关于直线x=a对称，则有f(a-x)=f(a+x)，反之也成立.

这是最容易理解的对称性质，教师引导学生分析a-x与a+x在坐标轴上与a的距离相等，f(x)关于直线x=a对称，即f(a-x)=f(a+x).

性质2若函数f(x)关于直线x=a对称，则有f(x)=f(2a-x)，反之也成立.

性质2是性质1的变式，此时要引导学生注意x和2a-x的位置关系.

性质3若函数f(x)关于点(a,0)对称，则有f(a-x)=-f(a+x)，反之也成立.

对比性质1，f(a-x)=-f(a+x)意味着将轴对称图形的一半翻折下来，变为关于点(a,0)对称.

性质4若函数f(x)关于点(a,0)对称，则有f(x)=-f(2a-x)，反之也成立.

教师让学生对比性质2自己判断性质3和性质4.

性质5若有f(a-x)+f(a+x)=2b，则函数f(x)关于点(a,b)对称，反之也成立.

根据中点坐标公式，设点P(a-x,f(a-x))，Q(a+x,f(a+x))，则PQ的中点坐标为

由f(a-x)+f(a+x)=2b,得

从而中点M的坐标为(a,b).由x的任意性知点P,Q恒关于点(a,b)对称，即函数f(x)关于点(a,b)对称.将性质5特殊化，令b=0即得性质3的结论.

以上性质均可用……