刘帅琦，王布宏，李夏，刘新波，曹帅

1.空军工程大学 信息与导航学院，西安 710077 2.中国人民解放军93995部队，西安 710306 3.中国人民解放军93801部队，咸阳 712200

混合多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)相控阵雷达[1-5]近几年引起国内外广泛关注，通过在传统相干MIMO雷达[6-7]发射阵列基础上进行合理子阵分割，形成的子阵间发射相互正交信号，子阵内发射相干信号，兼具MIMO雷达[8]波形分集增益和相控阵雷达[9-10]传输相干增益优势的工作模式灵活多变的新型雷达系统[11]。相较于传统MIMO雷达，子阵分割带来的传输相干增益，提高了混合MIMO相控阵雷达接收端信噪比，进而提高了雷达系统波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计性能[12]。

然而发射端子阵分割带来一系列优势的同时，却减少了混合MIMO相控阵雷达所能形成的虚拟阵元数目。当发射阵元个数为M，接收阵元个数为N，子阵分割数为K(K≤M)时，MIMO雷达可以形成MN个虚拟阵元，而混合MIMO相控阵雷达只能形成KN个虚拟阵元，这种虚拟阵元数目的损失会直接造成部分雷达阵列自由度的损失。而自由度大小是影响雷达系统所能探测目标数目的关键因素，也是评价雷达性能的一项重要指标。相较于MIMO雷达，子阵分割带来的自由度损失在一定程度上制约了混合MIMO相控阵雷达可辨识目标数目、抗干扰能力，进而对雷达系统的整体性能造成影响。因而如何在保留二维混合MIMO相控阵雷达优势的基础上，通过某种措施弥补自由度损失，进一步提高二维混合MIMO相控阵雷达性能是目前亟待解决的关键问题之一。

目前学术界就如何增加阵列自由度已有大量的相关研究，文献[13]采用的最小冗余阵列可以利用较少的物理阵元形成较大的虚拟阵元数目以增加阵列自由度，然而采用穷举搜索法优化得到阵元位置所带来的高计算复杂度不利于实际应用。文献[14]提出的互质阵列可以利用M+N个阵元形成O(MN)个自由度，但互质阵列稀疏排列带来的相位模糊对DOA估计精度产生了较大影响。文献[15]提出的嵌套阵可以在阵元总数给定的情况下，产生阵元位置相对确定的虚拟阵元数目扩展，获得较大的自由度，便于工程实现。基于此，文献[16]将二级嵌套阵列应用在了一维阵列的DOA估计中，利用N个阵元形成了N2个自由度，取得了较好的研究成果。文献[17]针对MIMO雷达，利用近乎一半的阵元构造嵌套阵恢复了全阵元的自由度。虽然文献[13-17]的研究成果显著，但均只是针对一维阵列进行研究，对于二维阵列这种实用性更广的阵列没有进行考虑。

文献[18]利用互相平行的两行一维嵌套阵列构造二维阵列形式，提高了二维DOA估计精度，但局限在于只是线阵的简单叠加，对阵元数目较大的阵列没有提出较好的设计方案。而文献[19]提出的二维嵌套阵列利用稀疏阵列和密集阵列构成的自由度扩展为研究二维阵列提供了新思路，且文献[20]已经将二维嵌套阵列成功应用于DOA估计中，并取得了较好的研究成果。基于以上分析，本文将二维嵌套阵列引入二维混合MIMO相控阵雷达接收阵列的设计中，以增加二维混合MIMO相控阵雷达阵列自由度，提高DOA估计性能。本文的主要工作有：给出一种由稀疏阵列和密集阵列构成的实际接收阵列模型，在此基础上结合二维混合MIMO相控阵雷达信号模型，对接收信号的协方差矩阵进行Khatri-Rao乘积处理并进行详尽分析，得到阵元数目虚拟扩展的差异阵列，最后通过空间平滑处理，进行DOA估计验证本文所提方法的有效性。

1 二维嵌套阵列模型

稀疏阵列中阵元数目为

Ns=(2Ns1+1)Ns2-1

式中：Ns1和Ns2为任意选定的整数，阵元位置为Nsns,其中ns=[ab]T为整数向量，满足：-Ns1≤a≤Ns1，0≤b≤Ns2-1且[ab]T≠0。

对如图1所示的二维嵌套阵列中任意两个阵元位置进行做差处理，并将得到的位置差作为新阵元位置，这样得到的新阵列较原阵列拥有更多的阵元数目，本文将其定义为差异阵列，此时阵元位置可以描述为{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd,Nsns-Nsns}。

实际上，差异阵列是二维嵌套阵列阵元数目虚拟扩展的本质，而为了对差异阵列进行DOA估计，需要选取差异阵列中阵元连续排列的一部分作为最终的等效阵列，经过分析，阵元位置可以描述为{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd},去掉其中的冗余阵元最终得到的差异阵列所含阵元个数为F×L，其中F=(2Ns1+1)λ1，L=2Ns2λ2-1,如图2所示。从图1和图2可以看到，通过对特殊排列的二维嵌套阵列中任意两个阵元位置进行做差处理可以得到比实际阵元数目更多的虚拟阵列，而如果在实际应用中构造出这种差异阵列，就可以使得阵元数目得到虚拟扩展。

图1 二维嵌套阵列模型Fig.1 Model of 2D nested array

图2 差异阵列Fig.2 Difference array

2 二维混合MIMO相控阵雷达信号模型

一个典型的二维混合MIMO相控阵雷达是在收发阵列共址的MIMO雷达基础上，对发射阵列进行合理的子阵划分形成的，假设目标为远场目标，发射端阵元数目为M×N，相邻阵元间隔为半波长，子阵分割数目为K，且K≤MN，K个子阵中阵元的发射信号集可以表示为φ(t)=[φ1(t)φ2(t) …φK(t)]T，其中子阵间信号满足两两正交。用M×N维由0、1两种元素构成的矩阵Zk来表示第k个子阵包含的阵元位置，0表示阵元不在该子阵内，1则表示属于该子阵。因此，第k个子阵的发射导向矢量可以表示为

ak(θ,φ)=vec[Zk⊙[μ(θ,φ)υT(θ,φ)]]

k=1,2,…,K

(1)

式中：θ和φ分别为俯仰角和方位角;vec[·]为矩阵矢量化处理；⊙为Hadamand乘积;

μ(θ,φ)=[1 ej2πdmsin θ cos φ… ej2π(Mt-1)dmsin θ cos φ]T

υ(θ,φ)=[1 ej2πdnsin θ sin φ… ej2π(Nt-1)dnsin θ sin φ]T

(2)

其中：dm和dn分别为相邻行相邻列的阵元间距;Mt和Nt分别为发射阵每行和每列的阵元数。

(3)

式中：β为目标反射系数；τk(θ,φ)为信号从第k个子阵的第1个单元到发射阵列第1个单元所需的时间差。假设接收阵列导向矢量为b(θ,φ)，那么此时雷达接收端接收到的信号为

x(t)=r(t,θ,φ)b(θ,φ)+n(t)

(4)

式中：n(t)为零均值的高斯白噪声矩阵。对接收信号进行匹配滤波之后得到的接收数据矩阵为

(5)

(6)

3 基于二维嵌套阵列的接收信号处理

与传统阵列不同的是，收发阵列形成的虚拟阵列结构的阵元数目扩展是相干MIMO雷达自由度较多的本质，因而混合MIMO相控阵雷达发射子阵分割带来的虚拟阵元数目减少，是其自有度损失的根本原因。因此，弥补自有度损失的关键应从增加虚拟阵元数目出发。基于以上分析，本文着手于在虚拟阵列中引入嵌套阵，构造与之对应差异阵列，形成阵元数目的虚拟扩展，提高阵列自由度。

将由稀疏阵列和密集阵列构成的总阵元数目为Ns+Nd的二维嵌套阵列作为接收阵列，这里假设空间有D个远场目标，则接收信号进过匹配滤波之后得到的信号矩阵可以表示为

(7)

(8)

式中：β=[β1(θ1,φ1)β2(θ2,φ2) …βD(θD,φD)]T为目标反射系数向量；U=[u1u2…uD]为面对D个目标的虚拟导向矢量形成的流形矩阵。则接收数据矩阵的协方差矩阵可以表示为

(9)

将式(9)中的协方差矩阵按列展开为

(10)

式(10)可以看做一个新的信号模型，其中C=U*⊕U可以看做新的阵列流形，p为信号矩阵。下面着重讨论如何在接收信号中构造出阵元位置差的形式，进而形成差异阵列。定义面向D个目标的二维嵌套阵列流形矩阵为

(11)

式中：Ask为Ns×1维稀疏阵列流形矩阵；Adk(k=1,2,…,D)为Nd×1维密集阵列流形矩阵,且其中元素分别为

(12)

(13)

式中：uk=sinφk[cosθksinθk]T。为简化计算，假设发射权值矩阵采用传统权值为

(14)

将其代入c(θk,φk),可得

(15)

用二维矩阵Nk(k=1,2,…,K),表示每个子阵第1个阵元的位置，则

(16)

进而K(Ns+Nd)×1维虚拟导向矢量就可以表示为

(17)

进而可以得到

u*(θk,φk)⊗u(θk,φk)=

(18)

C=(MN-K+1)×

(19)

可以看到，通过Khatri-Rao乘积处理，形成了K2(Ns+Nd)2×D维新的流形矩阵C，并且在矩阵C中构造出了阵元位置差，由此可以形成差异阵列，初步实现了阵元数目的虚拟扩展。经过仿真验证，这些行向量中存在大量的冗余元素，且形成的差异阵列阵元排列部分不连续，不能直接对其进行DOA估计，需要选取差异阵列中连续的一部分，并进行去冗余操作，最终形成的虚拟阵列包含阵元2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1个，定义矩阵C#为由去冗余后形成的差异阵列构成的[2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1)]×D维虚拟接收导向矢量矩阵，式(8)就变成了

(20)

(21)

式中：Rss=ppH为目标功率的协方差矩阵，可以看到，经过空间平滑处理的信号协方差矩阵秩不为一，因而可以对其应用DOA估计算法进行DOA估计，更重要的是仅仅利用O(Ns+Nd)个实际物理阵元，形成了O(NsNd)个虚拟阵元扩展，大大增加了二维混合MIMO相控阵雷达的自由度。

4 计算机仿真实验

以文献[21]中均匀重叠分割模式的5×5二维混合MIMO相控阵雷达为例。其中，各天线为全向发射的发射阵列中M=N=5，相邻天线单元间隔设为半波长，子阵分割数目K=2，且每个子阵包括24个天线单元。接收阵的二维嵌套列中，相关参数设置为

取Ns1=1,Ns2=2,则稀疏阵列和密集阵列阵元数分别Ns=8,Nd=9,实际接收阵元总数目为17，如图1所示。而由此形成的差异阵列中F=9，M=17，如图2所示。经过空间平滑处理后最终应用DOA估计的子阵阵元数目为45，如图2中实线框内所示。实验均为高斯白噪声环境。

4.1 实验1:虚拟阵元数目对比

表1对比了MIMO雷达，混合MIMO相控阵雷达以及混合MIMO相控阵嵌套阵雷达，3种雷达在发射阵列数相同的情况下采用图1接收阵列最终得到的自由度数目。由于混合MIMO相控阵雷达是在MIMO雷达基础上对发射阵列进行合理子阵划分形成的，满足K≤MN，因此混合MIMO相控阵雷达相较于MIMO损失了一定的自由度。而在混合MIMO相控阵雷达接收端应用嵌套阵形成差异阵列带来的虚拟阵元扩展可以在一定程度上弥补传统混合MIMO相控阵雷达自由度的损失，在对发射阵列数目MN，子阵分割数目K，接收端阵元数目Ns+Nd进行合理取值后，嵌套阵混合MIMO相控阵雷达在自由度上几乎可以与MIMO雷达相等。

表1 3种接收阵列与自由度关系表Table 1 Three receiving array vs degrees of freedom

4.2 实验2：DOA估计精度对比

为了对比利用二维嵌套阵列形成的虚拟阵元数目扩展对二维混合MIMO相控阵雷达DOA估计精度的影响，在发射阵列相同的情况下，对3种不同的接收阵列：直接采用图1的接收阵列，采用图1阵列并进行Khatri-Rao乘积处理形成的嵌套阵接收阵列，与嵌套阵形成的差异阵列相同的5×9接收阵列，分别利用Unitary ESPRIT算法进行俯仰角和方位角的联合DOA估计。蒙特卡罗仿真次数设为100。

图3和图4分别为估计均方误差(RMSE)与信噪比(SNR)和快拍数的关系，这里假设空间存在7个远场目标，(10i,10i)(i=1,2,…,7)。图3中，信噪比从-30 dB以5 dB递增到40 dB，快拍数为500，由图可知，3种接收阵列的估计均方根误差均随着信噪比的升高而降低，其中17接收阵元表现最差，嵌套阵表现中等，45接收阵元最优。图4中，信噪比设置为0 dB，快拍数从1以10为间隔递增到200。从图中可知3种接收阵列在快拍数从0增加到10时，估计均方根误差均呈剧烈下降趋势，快拍数从10递增到200时，估计均方根误差呈小范围波动，趋于不变。其中45接收阵元估计精度最高，其次是嵌套阵，17接收阵元精度最低。

图3 信噪比和估计均方误差的关系Fig.3 Relationship between SNR and estimated RMSE

图4 快拍数与估计均方根误差的关系Fig.4 Relationship between snapshots and estimated RMSE

图5为对两个相近目标(10,10)、(11,11)进行DOA估计时，3种不同接收阵列的估计成功率与信噪比变化关系图，信噪比从-30 dB以5 dB递增到40 dB，定义估计成功准则为

从图5可以看到，在低信噪比时，3种阵列的估计成功率均呈上升趋势，其中45阵元在信噪比-10 dB时成功率已接近1，其次是嵌套阵在-5 dB时接近1，表现最差是17阵元在5 dB时接近1。

总的来说，由于差异阵列形成的虚拟阵元数目扩展，使得嵌套阵混合MIMO相控阵雷达较传统混合MIMO相控阵雷达在对空间相同目标进行DOA估计时显示出了较高的估计精度，而由于差异阵列形成的只是虚拟阵元数目的扩展，实际阵元数目没有增加，因此嵌套阵混合MIMO相控阵雷达在与虚拟阵元数目相同的实际物理阵元对比时，估计精度略有下降。但也验证了在接收阵列中应用嵌套阵可以在一定程度上弥补二维混合MIMO相控阵雷达发射阵列分割带来的自由度损失，提高DOA估计精度。

图5 成功率与信噪比的关系Fig.5 Relationship between successful probability and SNR

5 结 论

仿真实验表明，本文提出的基于二维嵌套阵的二维混合MIMO相控阵雷达接收阵列设计方法有如下结论：

1) 能够在不增加实际阵元数目的情况下，形成更大规模的虚拟阵元数目扩展，在一定程度上弥补二维混合MIMO相控阵雷达自由度的损失。

2) 相较于传统混合MIMO相控阵雷达可以在一定程度上提高DOA估计精度。

本文只是提出一种提高自由度的可行性方法，至于是否存在其他更优方案，在下一步工作中将有所体现。

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