蒋智东

[摘要]同一内容，根据其发生、发展及应用的不同阶段，应有不同的教学设计来引导和促进学生的学习、理解和技能的形成.

[关键词]教学设计；绝对值；函数；问题

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05001703

绝对值是中学数学的一个重要概念，它既有代数形式，又有几何背景.“含有|x-a|的一类函数问题”形式新颖、综合性强、思维难度大，要求学生不仅能深刻理解题意，还必须具备较好的逻辑推理能力和充足的思想方法储备.而这些要求不是一蹴而就的，它需要一个过程.需要经过两轮的复习课教学，方可达到基础知识的认知、基本方法的构建、基本思想的渗透，并在此基础上完成一系列的应用的目标.

一、设计原则

1.教学目标的设定要有层次性

就“含有|x-a|的一类函数问题”，我们在第一轮、第二轮复习两个阶段组织不同教学目标的微专题教学.复习要循序渐进，按照第一轮复习注重知识网络构建和基本方法构建，第二轮复习重应用和能力培养的原则进行整体设计.

2.例题的选择要有发展性

（1）含有|x-a|的一类函数解析式要尽量全面，便于学生对这类函数的认知.如

f（x）=x2+|x-1|、f（x）=x|x-2|

等.同时，无论是依据定义去绝对值还是依据几何意义去绝对值，都要有展示的空间.

（2）问题设计要尽量全面，便于学生对问题解决的基本方法感悟和提炼，便于学生在解决问题过程中思想方法的自然形成.

（3）问题的设计既要有利于学生独立思考，又能促使学生探究交流.

（4）例题难度要递进.

3.课后作业要有针对性

专题课的作业一定要有针对性，坚持讲什么，练什么.例题中归纳总结出什么方法，作业中的题目就要用到什么方法.让学生在巩固中理解、体会、提高.

4.知识结构的把握要有整体性

同一内容要有一个整体的目标和要求.依据学生的学习能力和认知规律，在不同阶段的教学中分层次逐步达成.不同阶段的教学目标和要求要为总的目标和要求服务，是总目标中的有机组成部分，要有层次性和连续性.

二、具体内容

【第一轮复习】

（一）教学目标

1.通过对问题的呈现与思考，认知含有|x-a|的一类函数的本质，形成初步的知识网络.

2.通过对问题的探索与解决，构建问题解决的基本思路与基本方法，培养学生解决此类问题的能力.

3.通過对问题的回顾与反思，体会分类讨论与数形结合等数学思想方法的形成与应用，培养学生分析和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.

（二）课前预习

1.求函数f（x）=x2+|x-1|的最小值.

2.已知函数f（x）=x|x-2|，求：

（1）函数f（x）的单调区间；

（2）当x∈

12，1+72

时，f（x）的值域；

（3）当x∈

12，a

时，求f（x）的最大值.

设计意图：

1.通过两个问题的解决，使学生明确此类|x-a|函数的本质就是分段函数，而且每一段都是二次函数.这就为学生自觉运用函数图像解决问题奠定了基础（分别依据二次函数的零点式、一般式、顶点式作图，可以采集不同的信息）.

2.通过问题的解决，使学生明确此类函数的基本问题是研究函数的单调性，进而解决函数的最值或值域问题.

3.注重思想方法的自然形成.第2题的第（3）问在第（2）问的基础上思考完成，为分类讨论方法的使用提供了载体.

4.注重学生数学素养的培养.第2题第（2）问中，0和2是函数f（x）的零点，直线x=1是函数f（x）=x（x-2）的对称轴.因此，考查f（x）在区间

12，1+72

上的单调性时，左端点12不难确定，对于右端点

1+72

，就需要一定的思考和分析.1+72>2，并且f

1+72

=

f12

，需要不断地调整，这种能力就是素养.第2题第

（3）问中，由于f（1+2）=f（1）

，利用第（2）问中的思路，

分为x=1，x=2，x=1+2，对a的值进行讨论，从而确定函数f（x）在区间

12，a

上的单调性.这种依据图像直观，结合函数图像上的节点，形成的讨论就是具备数学核心素养的表现.

反思提炼：

1.我们研究了哪一类函数的问题？

——含有|x-a|的一类函数的问题.

2.这类问题的本质是什么？

——分段函数，而且每一段都是二次函数，它属于基本函数.

3.我们研究了这类函数的什么问题？

——求单调区间和最大（小）值、值域问题（其实就是研究函数的单调性，函数的最大（小）值或是值域都要依托单调性来求解），这些问题都是函数最常见的问题.

4.解决问题的过程中，我们都分别用到了什么方法？

——数形结合、分类讨论的思想方法.

二次函数的单调区间往往通过其图像来获得.二次函数作图过程中，一般式可以考查确定开口方向和纵轴截距；顶点式可以考查确定对称轴和顶点纵坐标；零点式可以考查确定图像与x的两个交点.

（三）典型例题

两个预习题目所呈现的是含有|x-a|的函数中比较重要的、基本的模型和典型性问题，含有丰富的数学思想方法和较高的能力要求.因此，我们有必要在此基础上再做深入细致的思考和研究.

【例1】已知函数

f（x）=x|x-a|，

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式.

设计意图：

1.第（1）问中类比课前预习中的2，依托二次函数零点式作图，确定不同情形下函数的单调区间.

2.第（2）问中一方面利用第（1）问中的图形，针对函数f（x）在区间[0，2]上的单调性展开讨论，确定最大值；另一方面，也可以利用|x-a|的几何意义，分a<0、0≤a≤2和a>2去掉绝对值，化简函数后再确定函数f（x）在区间[0，2]上的单调性.

3.第（2）问还需二次讨论，培养学生的逻辑能力和对综合问题的把握能力.

【例2】设a∈R，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a

x2+2ax-a2，x

即

f（x）=

3（x-a3）2+23a2，x≥a

（x+a）2-2a2，x

设计意图：

1.在例1形成的新认知结构基础（每段二次函数的二次项不同，常数项均不为零，两段函数的相关性不强）上，进一步检查学生对此类问题解决方法的掌握情况.通过学生交流及教师的引导，使学生及时进行辨析对比较、矫正确认.

2.对两段函数作图时，能够依据对称轴展开讨论，就是有素养的表现.同时，作图过程中“衔接点”的把握也是关键点.

课堂小结：什么函数？什么问题？什么方法？（具体略）

用图体会：图“不动”，区间端点“动”.

【

第二轮复习】

（一）教学目标

1.通过在函数解析式中设置参数，增大问题考查的广度和深度.

2.通过问题的逆向考查，加深学生对知识和方法的理解，培养学生的逻辑思维能力.

3.围绕函数的零点、恒成立等问题，培养学生以含有|x-a|的函数为载体的应用意识和应用能力.

（二）课前预习

1.已知函数f（x）=x|x-2|-a有三个零点，则实数a的取值范围为.

2.若不等式x2+|x-1|≥a恒成立，则实数a的取值范围为.

3.若函数f（x）=x|x-a|在区间[2，+∞）上单调递增，则求实数a的取值范围.

设计意图：

1.回顾函数|x-a|零点问题的相关处理方法——转化法[函数f（x）的零点、方程f（x）=0的根、函数y=h（x）與函数y=φ（x）图像的交点].

2.回顾恒成立问题的两类基本方法（最值法和参变量分离法）.

3.增加问题的逆向考查，加深学生对知识和方法的理解，培养学生的逻辑思维能力.

4.增加应用的成分，增强问题的综合性，增加考查强度.

方法提炼：

1.零点、恒成立问题常规的处理方法.

2.在一轮复习基础上，强化用图意识（区间端点“2”动，图不动）.

（三）典型例题

【例1】已知函数f（x）=x|x-a|.设a≠0，若f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，分别求出m，n的取值范围（用a表示）.

设计意图：引导学生在一轮复习中例2的基础上进行思考（思维和方法的连续性，提高复习效率）.学生受初中知识方法的影响，往往第一感觉就是考虑端点值的代入.我们设计成开区间的形式，就会促使学生进行新的思考.函数f（x）在区间（m，n）上肯定不会单调，那么，最大值（最高点）、最小值（最低点）必在区间（m，n）内部.

此题增强了学生的用图意识，培养了学生的逻辑思维能力，又为后面学习函数的极值奠定了基础.

【例2】已知函f（x）=|x|（x-2）.

（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间-1，12

上的最大值.

设计意图：

在含有|x-a|的函数的问题处理上，进一步夯实学生的基本功，培养学生的数学核心素养.在确定函数在区间-1，12中，需要分类讨论，关键点是确定分类讨论的标准，是依托区间端点“-1”进行，还是依托端点“12”进行，不是特别明确，需要学生分析思考，要逐步摸索，不断调整，这就是能力的体现.在最大值的确定上，还要进行二次讨论.

【例3】已知关于x方程|x-a|x=a有三个不同的根，求实数a的取值范围.

设计意图：

在知识纵向延伸的基础上再向横向拓展，围绕方程有根问题的诸多处理方法，突出、强化对含有|x-a|的函数问题的常用方法（图像法）的应用.

【例4】已知函数f（x）=x|x-a|-2，当x∈[0，2]时，

f（x）<0恒成立，求实数a的取值范围.

设计意图：

通过恒成立这种问题形式，使学生分析思考解决的方式：可以直接求f（x）max（一轮复习中的例1），这正是本专题复习的效果所在.也可以进行参变量分离处理.

本课小结：

哪些知识？哪些方法？哪些应用？问题和思路梳理！（具体略）

三、教学设计分析

同一内容，根据其发生、发展及应用的不同阶段，应有不同的教学设计来引导和促进学生的学习、理解和技能的形成.这种教学设计，是发挥学生学习、教师教学和知识发生、发展这三个过程作用的一种教学框架.它使学生能够积极动脑、动手、动口参与知识和方法的形成的过程（即生长过程）.因而，教师传授（即学生获取）信息、知识的同时，也培养了学生（学生自我发展）创造知识的能力，提高了学生（学生自我增进）的技能.也就是说，通过科学的设计，使教师的教学过程、学生的学习过程统一于师生共同参与研究、讨论、探索、发现的过程.这是一个获取知识、发展思维、训练技能三位一体的过程，是知识和能力相结合的过程.

（责任编辑黄桂坚）