廖克杰

[摘要]数学课程标准对数学文化融入课程内容有了明确的要求，数学文化体现了数学的价值观念、行为方式和思维方式，对学生数学核心素养的培养发挥重要作用.数学教师在日常教学中应发挥数学文化的育人功能，想方设法让学生感受数学文化的熏陶，进而落实核心素养的培养.

[关键词]数学文化；核心素养；导数的概念

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05000703

《普通高中数学课程标准》中指出：“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中.”在《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中对数学学科明确提出了增加数学文化内容的考查，把数学文化在高中数学教学的要求提升到了一个新的高度.

如何在日常教学中发挥数学文化的育人功能，让学生感受数学文化的熏陶，进而落实核心素养的培养呢？下面笔者以《导数的概念》教学为例，谈谈自己的认识与实践.

一、情境引入，呈现经典例证

导数是由平均变化率衍生出来，由速度问题抽象而来的数学概念.从一段我国运动员奥运会夺冠的视频引出数学问题，使

学生的爱国情怀

在充满正能量的情境中得以激发.

接着，就以下两个问题与学生进行交流.

问题1：运动员在起跳瞬间有没有速度？在落水瞬间有没有速度？在物理学上，此时的速度叫作什么速度？

（教师投影截取的运动员在2秒时刻所在的大致位置.）

问题2：2秒时刻运动员有瞬时速度吗？在这一时刻运动员是运动的吗？

大部分学生认为，运动员从起跳到落水的整个过程中都是运动的，因此在2秒时刻有瞬时速度；也有学生认为，在2秒那一刻运动员占据了一定的空间位置，在这一瞬间是静止的，没有瞬时速度.学生的思维与原有认知发生冲突，此时教师介绍芝诺“飞矢不动”的诡论，从数学概念的严谨性上给出了物体动或不动的定义，这是涉及两个时刻的概念.

[設计意图]展示数学的发展历程，暴露数学家的思维过程，让学生感受数学的严谨性，体验数学家追求真理的科研精神，培养学生思维的深刻性和批判性.

问题3：物体动就产生了速度，速度是涉及两个时刻的概念，利用这一想法来求t=2s时刻的瞬时速度可行吗？

对于问题3，多数学生会想到利用求平均速度的方法来求t=2s时刻的瞬时速度，这是本节知识的切入点，也是培养学生逻辑推理思维和创新能力的关键点.

二、抽象模型，渗透极限思想

微积分的核心概念是导数，而理解导数就必须要有极限的思想.笔者通过图形和代数两个角度让学生直观感受平均速度无限趋近瞬时速度的变化过程，从形与数的表征揭示极限思想的本质，对学生极限思维的建立有积极的促进效果.

教师引导学生抽象出如下模型：

在t=2s这一瞬间，时间变化量都为0，从而路程变化量也为0，再用时间变化量除路程变化量会没有意义，而此刻瞬时速度是存在的.利用“速度是涉及两个时刻的概念”这一思想，得出在t=2的附近再取一个时刻t=2+Δt，计算区间[2，2+Δt]（Δt>0）（Δt<0时为[2+Δt，2]）内的平均速度，让Δt趋向于无穷小时，得到的值即为t=2s时的瞬时速度.

教师：为了解决这个问题，17世纪的一批数学家投入了这一工作，集大成者是微分学的创始人牛顿与莱布尼茨.求t=t0时刻的瞬时速度，让时间从t0变到t1，这段时间记作Δt=t1-t0，走过的距离记作Δs，比值Δs/Δt即为t0到t1时间内的平均速度.牛顿合理的设想：当Δt越来越小，Δs也越来越小，在就要为0而还不是0的时候，比

值

Δs/Δt就是所要求的瞬时速度.

[设计意图]渗透微积分的发展史，使学生了解数学发展的艰辛历程和发展逻辑，让学生追随大师的足迹一步步接近数学的本质，体会数学的人文、科学和应用价值.

平均速度=ΔhΔt，让学生动笔，在草图上把Δh和Δt（Δt>0）画出来.并且让2+Δt慢慢靠近2，让学生感受到平均速度逼近瞬时速度的过程.

当Δt<0时，2+Δt从左边逼近2.学生动笔再次作图.

[设计意图]通过图形，让学生直观体会平均速度的逐渐逼近引起思维的变化，进而升华得出瞬时速度，也为学习导数的几何意义做铺垫；强调左右逼近，使学生感受一元函数的极限是从左右两边逼近的，为后续导数概念的深化做好准备.

接着，让学生从代数的角度感受无限趋近，进而了解极限，感受数学的严谨性.

问题4：如何计算区间[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]内的平均速度？

教师：如何快速化简式子=ΔhΔt

=h（2+Δt）-h（2）Δt

？

部分学生能化简得到=-1.9Δt-13.1

，教师引导学生通过找同类项，提高化简效率.分子中二次项Δt2的系数为-4.9，一次项Δt的系数为-13.1，常数项为0.

[设计意图]通过数形结合，感受无限逼近思想的本质，培养学生思维的灵活性和缜密性.强调算理意识，落实数学运算核心素养的培养.

学生动笔计算Δt=0.1、0.01、-0.1、-0.01时的平均速度，师生利用电子表格Excel得出下表.

问题5：请观察上述表格，当Δt趋向于0时，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？

学生：当Δt趋向于0时，平均速度趋向于一个定值-13.1，这个定值就是t=2s时刻的瞬时速度.

[设计意图]让学生对平均速度进行定量分析，从数值上体会平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程.

三、抽象概括，形成导数概念

学生能否对数学概念进行深刻理解的标志，表现在能否用数学的文字、图形、符号语言来揭示概念的本质属性.因此，导数概念的教学关键在于如何引导学生用数学符号语言对过程进行抽象概括.

学生对平均速度和瞬时速度的关系有了直观的认识，为导数概念的形式化定义的抽象做好准备，笔者通过问题串来完成符号语言的转化.

问题6：你能用符号语言表示“当Δt趋向于0时，平均速度趋向于一个定值-13.1”吗？

学生：当Δt→0时，

h（2+Δt）-h（2）Δt→-13.1.

教师：能再简洁一些吗？

学生：把表示极限的两个“→”合写在一起，即得到

limΔt→0

h（2+Δt）-h（2）Δt=-13.1

.

问题7：t=1时的瞬时速度怎么表示？t=0呢？t=t0的瞬时速度怎么表示？

学生都能想到分别用t=1、0分别替换2，得到相应时刻的瞬时速度的表示，从而抽象得到t=t0的瞬时速度表示式：

limΔt→0ΔhΔt=

limΔt→0

h（t0+Δt）-h（t0）Δt.

在学生理解函数的平均变化率的极限即为瞬时变化率的基础上提问.

问题8：函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？

limΔx→0

ΔfΔx=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

称为y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或

y′|x=x0

，即

f′（x0）=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

.

[设计意图]让学生经历三次数学符号语言的抽象概括，形成导数的形式化定义，完成从直观到抽象、从具体到概括的过程，培养学生的数学抽象思维.

四、深化概念，加深本质理解

“概念深化”是一节课的灵魂，对学生良好思维品质的培养起关键作用.这一环节形式多样，常包括怎样分析概念的内涵与外延？能否从图形、文字、符号三种语言形式来对概念进行描述？能否就概念提出问题让学生辨析正误？学生能否自主构造例子说明？，这都需要教师动脑去挖掘.

问题9：①导数的本质是什么？

②f′（x0）与Δx的具体值有关吗？

③f（x0）与f′（x0）一样吗？

④导数的表达式中分子、分母各表示什么？

问题9：函数y=f（x）在x=x0处的导数为f′（x0），则

①limΔx→0

f（x0+2Δx）-f（x0）Δx=

；

②limΔx→0

f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

[设计意图]让学生明确导数的本质即为瞬时变化率，是一种动态的趋近的思想，是一种特殊的极限；加深学生对导数的形式化定义的理解：导数是差商的极限，要保持差商的一致性，提高学生思维的灵活性.

教师：17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，当时导数的概念是含混不清的并引起了近一个世纪的争议.19世纪初，柯西引进极限概念，给出了导数明确的定义.柯西以及后来的维尔斯特拉斯对结束微积分两百年来思想上的混乱局面做出了巨大的贡献，并使微积分发展成现代数学最庞大的学科.

教学中，以具体实例引出数学问题，让学生的思维与原有认知发生冲突，再现历史上“飞矢不动”的诡论，让学生经历与数学大师牛顿一起思考问题、解决问题的过程；在抽象模型环节，从形与数的表征一步步接近导数的本质，慢慢揭开导数的神秘面纱.同时，介绍数学家们追求真理的艰苦过程，让学生感受数学发展的严谨，养成质疑、批判、求真、务实的理性思维和永不言弃的探索精神.

[参考文献]

王兴良.导数概念教学中渗透数学史内容的研究与实践[J].吉林省教育学院学报，2014，3（30）.

（责任编辑黃春香）