陆继盛

[摘要]新课程要求课堂教学改变“一言堂”的传统教学模式.“师生换位”是优化课堂教学的一种有效的教学模式.

[关键词]师生换位；教学模式；课堂教学；优化

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05001102

新课程强调，教师应鼓励学生积极开展研究性学习活动，提高他们的实践能力和创新能力，以适应社会对新型人才的需求.近年来，笔者在组织和引导学生积极开展研究性学习上做了一些尝试.本文选择一个比较好的案例与同行交流学习，敬请专家点评.

【课题】构建向量模型求最值探索.

【问题】如何求函数y=x2-6x+10+x2+6x+25

的最小值？（该问题是在复习完平面向量后，我给全班学生的一道探究解法的研究性学习题目）

【研究过程】

学生主持：这次学习，我们探究如何求函数y=x2-6x+10+x2+6x+25的最小值？

学生认真分析，积极思考，相互交流，相互探讨，有的甚至查起了资料.

学生1：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

∵根式（x-3）2+1取得最小值1，而根式（x-3）2+16的最小值是4，

∴此函数的最小值是5.

学生2：这种解法显然错误.原因是这两个根式分别取得最小值时的x不是同一个值.

学生主持：这是求有关和的最值时，同学们常出现的错误之一，请大家注意.

学生3：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

观察学生1对式子的变形，我联想到两点距离公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.如果将

（x-3）2+1+（x+3）2+16

再变形为

（x-3）2+（0-1）2+（x+3）2+（0-4）2

，则它表示数轴上的点（x，0）与两点（3，1），（-3，4）的距离的和，所以此问题变转化为在数轴上求一点，使得它到两点（3，1）和（-3，4）

的距离最小的问题.只需要在平面直角坐标系中，作出点（3，1）关于x轴的对称点（3，-1），而此对称点和另一点（-3，4）

的连线与x轴的交点95，0就是所求的点

，此时95，0与点（3，1）和点（-3，4）的距离的和是61.

教师（补充）：这位同学的方法很不错，他能从前面同学的变形，联想到两点距离公式，用数形结合的方法很简捷地完成了解答.希望大家在以后做题时，不要急于作答，而要认真分析题目结构的特点，从题目中获取信息，以达到优化解题的目的.

对于这道题，只有少部分学生想到用这种数形结合的方法外，很多学生感觉无从入手.

教师（引导）：

前面我们学习了向量，同学们仔细观察

（x-3）2+1+（x+3）2+16

和向量中的什么相似？

学生4：两点距离公式|AB|

=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.

教师：具体是哪两点，写出坐标.

学生4：（答不上来）.

学生5：和向量模的公式相似，即若

a=（x，y）

，则|a|=x2+y2.

教师：是怎样的两个向量呢？

学生5：a=（x-3，1），b=（x+3，4）.

教师：请同学们写出这两个向量的模.（一片惊叹声）下面同学们作答.

学生6：（板演）

解：将函数变形为y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

，设a=（3-x，1），

b=（x+3，4），

则y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

=|a|+|b|≥|a+b|=62+52=61

.

当且仅当a∥b方向相同，即x=95时，取“=”号，所以当x=95时，ymin=61.

教师：这个同学做得很好，解题过程简练、流畅.同学们看看，他构建向量时，为什么把向量a设为a=（3-x，1），而不是a=（x-3，1）呢？

学生7：是为能巧妙应用向量模的性质|a|+|b|≥|a+b|

而妙设的.这样当两向量相加時，未知量x就消去了.

教师：说得对.在构建向量模型求最值时巧妙的假

设也是相当重要的，希望同学们注意.看来有些最值的问题，若恰当地构建向量模型，借助向量的一些性质，常常会使复杂的问题变得简洁，使烦琐的解题过程显得巧妙、流畅.

教师（点评）：同学们已经能正确运用向量来解决一些问题.我们学习知识的目的是运用，向量是数学里相当重要的“工具”，希望同学们多探究、多运用.

【学生感言（节选）】

这节研究性学习课我和其他同学一样，认真分析，积极思考，尽管我没上讲台，我没发言，但收获很大.由于研究性学习课我们是真正的主人，所以我们在课堂上不紧张，思维能展开，在轻松中获取知识，我们比较喜欢.虽然一节课只讲了几道题，但它教会了我们如何借助刚学过的向量知识解决一些难解的问题，教会了我们学习的方法.值得一提的是，我发现我并不比别人笨，而是平时不善于交流，不善于探讨.研究性学习给我提供了探究学习的平台，我要以此为契机，逐渐养成研究性学习的好习惯，提高我的实践能力和创新能力.

【教学思考】

1.研究性学习是学生学习数学的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手、动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动.它能营造一个使学生勇于探索、争论和相互学习的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会.数学研究性学习更加关注学习过程.

2.用于数学研究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于创造广阔的思维活动空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种研究性材料.

3.数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的，教师应鼓励学生经过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情境提出数学问题，进而提炼成研究性学习的材料.在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用.

4.数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对学生的情感变化也应予以注意.为了使评价能够真实可靠，起到促进学生发展的目的，教师要充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价，既要有定量的评价也要有定性的评价.

（责任编辑黄桂坚）