姚跃贞

摘 要：近年来，关于线段最值问题受到名地中考试题的青睐，利用画圆求解线段最值，会使此类问题化难为易。

关键词：动点；线段最值；圆；基本模型

近年来，关于线段最值问题受到各地中考试题的青睐，并且问题呈现变化多、涉及面广、形式灵活的景象，解决此类问题常用的定（公）理有“两点之间线段最短，垂线段最短，三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边”。本文探索一种画圆求最值的方法。

一、基本模型

如图1，点P是⊙O外一点，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”易证得点P到⊙O的最小距离为PA，最大距离为PB。

如图2，点P是⊙O内一点，同理可得点P到⊙O的最小距离为PA，最大距离为PB。

归纳：利用“平面内一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长”解题。

例1，如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点D是AC边的中点，点A在x轴上运动时，点C随之在y轴运动，在运动过程中，求点B到原点的最大距离和最小距离。

解析：点A、B、C都是图形中的动点，点B的运动路径并不规则，但直角边AC的中点D的运动路径是规则的，始终在以O为圆心，OD为半径的圆上。当B、D、O三点在同一条直线上时，OB的长取得最大值或最小值。

由基本模型可知，最大值为OD+DB=4+2[13]，最小值為DB-OD=2[13]-4。

例2，如图4，在△ABC中，∠ACB=30°，AB=5，BC=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△ABC，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，点P的对应点是P，求线段EP长度的最大值与最小值。

解析：线段AB的中点E的运动路径为以B为圆心，BE长为半径的圆，P点离B点最远的点为C，最近的点为D（BD⊥AC于点D），因此最小值为D、E、B三点在同一条直线上时，即点P与点D重合。……