郑玉梅

摘要：今年高考题出现的一题多解题，拓宽了学生的解题思路，培养了学生从不同视角分析问题和解决问题的能力。本文意在利用一题多解这种题型本质，最大化地挖掘高考试题的潜在价值，使我们在课堂教学中有针对性地组织内容，让教学过程着眼于方法，立根于本质。

关键词：高考；一题多解；策略

中图分类号：G633.65文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）03-095-2

今年高考的解析几何解答题，是一道平易近人的可求型交点问题，它改变了以往的大运算量，起点相对较低，更注重基础知识和基本技能的运用。

题目如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8。点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2。

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标。

一题多解

（1）略；（2）怎么求？思考方向不外乎两个：代数法或几何法。不难发现只要点P确定，则涉及的相关直线与点就全部确定，所以从P点的坐标入手成为解决本题的一个自然选择。

解法1由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）。设P（x0，y0）因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0。

当x0=1时，l2与l1相交于F1，与题设不符。

当x0≠1时，直线PF1的斜率y0x0+1，直线PF2的斜率y0x0-1。

因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为-x0+1y0，直线l2的斜率为-x0-1y0，

从而直线l1的方程：y=-x0+1y0（x+1），①直线l2的方程：y=-x0-1y0（x-1）。②

由①②，解得x=-x0，y=x20-1y0，所以Q（-x0，x20-1y0）。

因为点Q在椭圆上，由椭圆的对称性可知，Q和P关于y轴对称或者关于原点对称。x20-1y0=±y0，即x20-y20=1或x20+y20=1。又P在椭圆E上，故x204+y203=1。

由x20-y20=1x204+y203=1，解得x0=477，y0=377；x20+y20=1x204+y203=1，无解。

因此点P的坐标为（477，377）。

能否回避对斜率是否存在的讨论呢？若用向量来处理，就没有这些麻烦。……