马林

【摘要】本文针对同一常见多元函数条件极值的实际问题，建立模型，应用基本不等式法、等式约束极值的代入法、拉格朗日乘数法进行求解，一题多解、层层递进激发学生学习兴趣.

【关键词】条件极值；基本不等式；等式约束；拉格朗日乘数法

多元函数极值是高等数学中十分重要的知识点，分为无条件极值和条件极值两大类，条件极值问题因其考虑约束条件，通常会复杂一些，有时候条件极值问题可以通过代入法转化为无条件极值问题，文献[1]中讨论了多元函数条件极值的四种求解方法，文献[2]借助于多元函数极值的应用解决了生活实际问题.本文将对同一常见多元函数条件极值的实际问题，应用基本不等式、等式约束极值的代入法和拉格朗日乘数法进行求解，帮助学生多层次多角度地分析问题和解决问题.

实际问题[3] 某工厂要用铁板做成一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

首先依据题意，建立模型，设长、宽、高分别为x米、y米、z米，那么xyz=2，此水箱所用材料的面积

S=2（xy+yz+xz）（x>0，y>0，z>0）.

下面将分别用三种方法来求出S的最小值，即用料最省的值.

一、基本不等式法

由基本不等式，当a>0，b>0时，a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立，即算数平均数大于几何平均数，它可以推广到3个至n个的一般情形，即当x1，x2，…，xn>0时，

x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn.

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

由此，上述实际问题中，x>0，y>0，z>0，则

S=2（xy+yz+xz）≥2·33xy·yz·xz=63（xyz）2=634.

当且仅当xy=yz=xz即x=y=z=32米时，S达到最小634 m2，即水箱所用的材料最省.

同时，在使用基本不等式法时，也可以选择另外一……