沙婵娟

【摘要】微元法是分析和解决数学、物理问题的常用方法，它是采用“化零为整”的思想，通过极小部分分析整体.本文采用微元法计算了不同形状物体所受水压力.只要物体的质心坐标确定，便可通过微元法快速准确地计算出其所受的水压力.

【关键词】微元法；质心；水压力

一、引 言

微元法是解决很多数学和物理问题的常用方法，这是一种深刻的思维方法，是对某事件做整体的观察后，先分割逼近，找到规律，再累计求和，最终了解整体.

微元法解题的一般步骤：

第一步，取元.分割选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象.

第二步，模型化.将微元模型化（如，视作点电荷、质点等），求解这个微元.

第三步，做积分.以找到的微元（近似值）为被积表达式，在分割区域上做相应的积分.

二、分析物体所受水压力

（一）细棒所受水压力

长度为a的均匀细棒水平放置于深为h的水中，细棒所受压力F=p·a=gh·a.

问题 若细棒铅直放置在水中，水深不同的各点处压强p不同，细棒所受压力无法用上述方法计算.

分析 当木棒铅直放入水中时，木棒各点所处深度不同，所以不能按一点处的深度去计算水压力，整体无法处理，所以选择微元法化整为零.

解 分三步走：

1.选取木棒所在铅直位置作为x轴，x为积分变量，它的变化范围[h，h+a].

2.在[x，x+dx]处寻找积分微元：dF=ρgxdx.

3.F=∫h+ahgxdx.

对求得的水压力进行分析：

F=∫h+ahgxdx

=ρg∫h+ahxdxaa（令x′=∫h+ahxdxa=h+a2）

=ρgx′a，

其中x′恰為细棒的质心所在.

试想：将此细棒水平放在质心所在高度的水中所受到的水压力……