■河南省商丘市第一高级中学 王小明

纵观近几年高考数学试卷,数列在命题中加强了对等差数列和等比数列的基本性质和公式的考查力度。题目的难度都属于容易题或中档题。这一传统的知识板块的难度已经大大降低了,高考不再在数列这里出难题了。因此,我们在复习时不需要过多地、人为地加大难度,只需要掌握基本的通法就可以。这与新课改中教学课时的分布是一致的。从知识范围来看,主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容;同时常见的求数列前n项和公式的方法(比如：分组求和、裂项求和、错位相减等)在近几年高考中考查力度很大。从试题特点来看,小题具有“小、巧、活、新”的特点,解答题属于中低档难度的题目,常考“知三求二”的基本问题,但对基本的计算技能要求比较高。下面对数列中的几个易错点进行详细讲解。

易错点一：利用an与Sn的关系求通项

例1 数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( )。

A.3×44B.3×44+1

C.44D.44+1

解析：这是利用an与Sn的关系求通项公式an的题目,过程如下：

①-②得,an+1-an=3Sn-3Sn-1(n≥2),则an+1=4an(n≥2)。

对于①式,令n=1,则a2=3a1=3,所以{an}是从第二项开始的等比数列。

点评：此题是“利用an与Sn的关系求通项”的题型,易错点不在于要不要验证首项,而是下标的变化。由①式得②式,必须注意下标的修改,两式相减得到差的式子,取两式范围的交集,遂得此数列是从第二项开始的等比数列。①式的下标范围已经给出,如果不给也是默认的自然数集。②式只是对①式的变形,本质表示的内容并没有变化,如果改成“an+2=3Sn+1(n≥0)”,得到运算结果也是相同的。不论下标加1减1,只要注意到表示的本质内容不变,得到结果就不会有错。

变式训练1.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),求{an}。

解析：Sn=2an-2(n≥1),Sn-1=2an-1-2(n≥2),所以Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),则an=2an-1(n≥2)。

令n=1,S1=2a1-2,a1=2,所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列。

所以an=2n(n∈N*)。

易错点二：由Sn求an,注意第一项

例2 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+2,求数列{an}的通项公式。

解析：当n=1时,a1=S1=5。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+2-[(n-1)2+2(n-1)+2]=2n+1。

经验证,a1不符合an=2n+1,则an=

点评：不论第一项验证符合不符合都必须分开来求,这两步求的逻辑不同,第一步是直接代入,第二步是用an=Sn-Sn-1,这种方法用来求a1是根本不可能的。

变式训练2.已知a1+2a2+3a3+…+nan=2n,求数列{an}的通项公式。

解析：可以把{nan}当作一个整体数列去求。记Sn=2n。

当n=1时,1·a1=S1=2;

当n≥2时,nan=Sn-Sn-1。

经验证,1·a1不符合n·an,则n·an

易错点三：错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求。

例3 已知an=(2n+1)·3n,求数列{an}的前n项和Sn。

则Sn=n·3n+1。

点评：错位相减法,属于数列求和里面的难点和易错点。下面借本例题给大家详细说明：(1)错位相减法,适用于等比数列和等差数列乘积形式的数列,如果是除法数列,我们也应当看作乘积形式;(2)第一行的和式,数字虽然简单计算,但是仍然保留等差与等比乘积形式,不要写出计算结果,那样不方便找规律;(3)②式乘以等比数列的公比,这也就是为什么始终看作等差与等比乘积的原因;(4)相减时,始终用①式减去②式;(5)减得的差式,第一项不变,最后一项前面是负号,中间项共有n-1项,不要漏项;(6)利用等比数列求和,最终再化简。错位相减法,比较烦琐,如果能固定计算过程,多加训练,就会熟能生巧。