■北京市第十二中学高中部 高慧明

本刊特邀栏目专家简介：

高慧明 首届全国十佳班主任,全国著名数学特级教师,国家教育部课程改革“全国先进工作者”,全国著名高考数学命题与考试研究专家,国家教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家。受邀在全国各地做有关高考科学备考、班级管理等多个专题报告,场场好评如潮,在全国引起强烈反响。现任教于北京市第十二中学高中部。

一、三角中的关键词——三角恒等变换

1.两角和与差的三角函数公式。

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

2.简单的三角恒等变换。

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆)。

解读：“两角和与差的三角函数公式”的整体要求就是会推、会用。这是进行三角函数式化简求值的主要依据,是高考命题的重点,要掌握一定的化简技巧。看清要求——“积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆”,所以不要做无用功哦。

命题预测：全国卷对三角的命题：小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简。大题主要以正、余弦定理为知识框架,以三角形为依托进行考查(注意在实际问题中的考查),或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质。

例1 (1)求函数f(x)=sinx·cosx+cos2x,x∈的值域;

(2)求函数f(x)=sinx+cos2x的值域。

解析：(1)f(x)=sinx·cosx+cos2x=

(2)f(x)=sinx+cos2x=-sin2x+sinx+1,令sinx=t,t∈[-1,1],函数变为y=-t2+t+1,值域为

例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=26。

(1)求cosC;

(2)若ab=20,且a+b=9,求△ABC的周长。

(2)因为ab=20,又因为a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41。所以c2=a2+b2-2abcosC=33,所以c=33。故△ABC的周长为a+b+c=9+33。

二、数列中的关键词——通项公式、前n项和公式

1.掌握等差、等比数列的通项公式。

(1)掌握等差、等比数列的通项公式,了解其导出过程。

(2)掌握等差、等比数列的性质,特别是等差、等比中项问题,熟练掌握a1,an及公差d(或公比q)知三求二的运算,理解等差、等比数列中通项公式的特点,掌握求通项公式an的方法及有关最值的计算。

2.掌握等差、等比数列的前n项和公式。

(1)掌握等差、等比数列的前n项和公式,了解其导出过程。

(2)熟练掌握等差、等比数列前n项和公式的特点,掌握求前n项和Sn的方法及有关最值的计算。

解读：数列的前n项和Sn与通项an的关系虽然没出现在考纲中,但也是高考命题的一个重点内容。等差、等比数列在考纲中的要求与其在高考中的地位是相符的,均是命题的重点。等比数列求和的时候千万要先考虑公比是否为1啊!还有,一定要能灵活运用等差、等比数列的性质解决相关问题。考纲中没有明确提出掌握求通项公式an的方法,但是在具体考试的过程中,叠加、叠乘、待定系数还是有所涉及的,复习过程中应引起重视!数列是自变量为正整数的一类特殊函数,既然是特殊的函数,那么在确定数列最值的时候,自然也有它自身特殊的方法!

命题预测：全国卷对数列的命题：2个小题或1个大题,小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主,属中低档题;解答题以考查等差(比)数列通项公式、求和公式、错位相减求和、简单递推为主。

例3 已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+p·2n-1+1(n∈N*,p为常数),a1,a2,a3-2成等差数列。

(Ⅰ)求p的值及数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{bn}满足明

解析：(Ⅰ)由a1,a2,a3-2成等差数列,知2a2=(a3-2)+a1,可得p=2。然后利用叠加的方法可求得an=2n+n-1。

bn+1-bn<0,则n＞1+2,即n≥4时bn+1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)求Sn(n∈N*)的最值。

解析：(Ⅰ)当q=1时,-2S2=-4a1=

因为2S3≠-2S2+4S4,故q≠1。

由2S3=-2S2+4S4及Sn=,得q2·(2q2-q-1)=0,所以q=或q=1(舍去)。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

综上,Sn的最大值为,最小值为

三、立体几何中的关键词——空间位置关系、空间向量

1.理解空间位置关系的判定定理和性质定理。

判定定理：(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

(3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。

(4)一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

性质定理：(1)如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。

(2)两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行。

(4)两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

解读：空间线面位置关系的判断经常以命题判断的形式进行考查,判断空间中的线面关系时,要把平面几何中的知识与空间中的线面关系区分开来,不要熬成“大锅饭”,乱成一团。

空间线面位置关系的推理与证明以平面图形中的线线关系为基础,所以要注意将空间中的问题通过平面的基本性质定理转化为平面图形中的问题来解决,这就是平面化的数学思想。

判定定理是我们证明空间平行与垂直关系的主要依据!证明时,条件要全,结论才能准确,乱改误用条件,证明就会出现错误。

性质定理是我们处理已知条件中的空间线面关系的重要依据!一般是将面面关系转化为线面关系,将线面关系转化为线线关系。尤其要注意线面平行与面面垂直的性质定理,要准确把握定理中的条件,考题多通过改变条件或减少条件给出一些命题进行判断,一定要牢记条件哟!

2.空间向量与立体几何。

(1)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

(2)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直。

(3)理解直线的方向向量及平面的法向量。

(4)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系。

(5)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理。

(6)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

解读：空间向量的要求都比较高,以“掌握”、“能用”为主,说明此处是高考命题的重点!作为解决空间线面关系、空间角与距离的求解的基本工具,一定要熟练掌握其基本运算。在建立空间直角坐标系时,一定要结合空间几何体的结构特征,准确记忆公式,准确地用向量探究空间关系、用向量度量空间角。

命题预测：全国卷对立体几何的命题：2道小题和1道大题,小题必考三视图,一般侧重于线与线、线与面、面与面的位置关系,以及空间几何体中的空间角、距离、面积、体积的计算的考查,另外,特别注意对球的组合体的考查。解答题以平行、垂直、夹角、距离等为考查目标。几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主。

例5 如图1,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,AD⊥FC。点M在棱FC上,平面ADM与棱FB交于点N。

(Ⅰ)求证：AD∥MN;

(Ⅱ)求证：平面ADMN⊥平面CDEF;

(Ⅲ)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小。

解析：(Ⅰ)因为ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC。又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN。

(Ⅱ)因为ABCD为矩形,所以AD⊥CD。因为AD⊥FC,所以AD⊥平面CDEF。所以平面ADMN⊥平面CDEF。

(Ⅲ)因为EA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE。

图1

由(Ⅱ)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE,所以DA,DC,DE两两互相垂直。

图2

建立空间直角坐标系D-xyz,如图2所示。不妨设EF=ED=1,则CD=2。设AD=a(a＞0),由题意得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1)。所以=(a,0,0)=(0,-1,1)。

设平面FBC的法向量为n=(x,y,z),

因为二面角A-l-B的平面角是锐角,所以二面角A-l-B的大小为45°。

【同步练习】

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atanC=2csinA。

(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)求sinA+sinB的取值范围。

2.设{an}是首项为1,公差为2的等差数列,{bn}是首项为1,公比为q的等比数列。记cn=an+bn,n=1,2,3,…。

(Ⅰ)若{cn}是等差数列,求q的值;

(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Sn。

3.如图3,在正四棱锥P-ABCD 中,已知PA=AB,E,F分别为PB,PD的中点。

(Ⅰ)求证：AC⊥平面PBD;

(Ⅱ)求异面直线PC与AE所成角的余弦值;

图3

【参考答案】

2.(Ⅰ)因为{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1。因为{bn}是首项为1,公比为q的等比数列,所以bn=qn-1。所以cn=an+bn=2n-1+qn-1。因为{cn}是等差数列,所以2c2=c1+c3,即2(3+q)=2+5+q2,解得q=1。经检验,q=1时,cn=2n,所以{cn}是等差数列。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn=2n-1+qn-1(n=1,2,…),所以

当q=1时,Sn=n2+n。

3.(Ⅰ)设AC∩BD=O,则O为底面正方形ABCD的中心。连接PO,因P-ABCD为正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD。所以PO⊥AC。又BD⊥AC,且PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD。

(Ⅱ)因为OA,OB,OP两两互相垂直,如图4,建立空间直角坐标系O-xyz。因为PB=AB,所以Rt△POB≌Rt△AOB,所以OA=OP。设OA=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,-1,1)。故=(-2,1,1),=(-2,0,-2)。所以|cos|=即异面直线PC与AE所成角的余弦值为。

图4