■河南省商丘市第一高级中学 郭 永

立体几何由三部分组成,一是空间几何体,二是空间点、直线、平面的位置关系,三是立体几何中的向量方法。高考在命制立体几何试题时,对这三个部分的要求和考查方式是不同的。在空间几何体部分,主要是以空间几何体的三视图为主展开,考查空间几何体三视图的识别判断,通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题,试题的题型主要是选择题或者填空题,在难度上也进行了一定的控制,尽管各地有所不同,但基本上都是中等难度或者较易的试题。但是,有些题是看起来简单做对却很难。因为立体几何有好多易错题,所以我们对易错题进行归类剖析就很容易在该知识点的解答中拿高分。

易错点1——求异面直线所成的角,若所成角为90°,容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法

例1 在三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( )。

A.60° B.90° C.105° D.75°

易错点分析：忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。

解析：如图1,D1,D分别为B1C1,BC的中点,连接AD,D1C。设BB1=1,则AB=2,则AD为AB1在平面BC1上的射影。又BE=BE2+BD2-2BE·BD·所以∠BED=90°,所以AB1与C1B垂直。

图1

知识点归类点拨：求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时,对特殊的角,如90°,可以采用证明垂直的方法来求之。

易错点2——对几何体的概念不清,找不出空间几何体定义的关键要素

例2 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

其中真命题的个数是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

易错点分析：不能理清各种棱柱之间的联系与区别。

解析：命题①是假命题。因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体。底面是矩形,侧棱不垂直于底面,这样的四棱柱是斜平行六面体。命题②是假命题。底面是菱形,底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体。命题③是假命题。因为由两条侧棱垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直。命题④是真命题,如图2所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中所有对角线 相 等,对 角 面B1BDD1是平行四边形,对角线BD1=B1D,所以四边形B1BDD1是矩形,即BB1⊥BD,同理四边形A1ACC1是矩形,所以AA1⊥AC,由AA1∥BB1知BB1⊥底面ABCD,即该平行六面体是直平行六面体。故选A。

图2

知识点归类点拨：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别,要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题。

易错点3——对经度和纬度两个概念容易混淆,弄不清楚经度是二面角,纬度是线面角

例3 如图3,在北纬45°的纬线圈上有A,B两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度上,设地球的半径为R,求A,B两点的球面距离。

解析：设北纬45°纬线圈的圆心为O1,地球中心为O,则∠AO1B=160°-70°=90°,∠OBO1=45°,OB=R,O1B=O1A=R,AB=R,连接AO,AB,则AO=BO=AB=R,所以∠AOB=。故A,B两点间的球面距离为

图3

知识点归类点拨：数学上,某点的经度是经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线(0°经线)和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。

易错点4——对于常见几何体的体积计算公式,特别是棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数,导致出错

例4 如图4,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC是直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,B1在底面上的射影D恰好是BC的中点,侧棱与底面成60°角,侧面AA1B1B与侧面BB1C1C所成角为30°,求斜棱柱的侧面积与体积。

易错点分析：B1在底面ABC上的射影D为BC的中点,提供了线面垂直,即B1D⊥平面ABC。又∠C=90°,即AC⊥BC,可以得到AC⊥平面BB1C1C。利用这两个线面垂直关系,可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角。

解析：因为B1在底面ABC上的射影D为BC的中点,所以B1D⊥平面ABC。所以∠B1BD为侧棱B1B与底面ABC所成的角,即∠B1BD=60°。

因为∠C=90°,即AC⊥BC,又AC⊥B1D,所以AC⊥平面BB1C1C。过点A作AE⊥B1B于点E,连接CE,则CE⊥B1B。

所以∠AEC是侧面AA1B1B与侧面CC1B1B所成二面角的平面角,所以∠AEC=30°。

在Rt△CEB中,因为∠CEB=60°,BC=2,所以CE=3。

在Rt△ACE中,因为∠CEA=30°,CE=3,所以AC=ECtan30°=1,AE=2AC=2。

图4

在Rt△B1DB中,∠B1BD=60°,BD=BC=1,所以BB1=2BD=2,B1D=BB1sin60°=3。

所以S侧=CE·BB1+AE·BB1+AC·AA1=(3+2+1)×2=2(3+3)(cm2)。

知识点归类点拨：计算简单几何体的体积,要选择某个面作为底面,选择的前提条件是这个面上的高易求,本例中的△ACE是斜棱柱的一个截面,而且有侧棱与该截面垂直,这个截面称为斜棱柱的直截面,我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分,并且用这两部分拼凑成一个以该截面为底面的直棱柱,斜棱柱的侧面积等于该截面的周长乘以侧棱长,体积为该截面的面积乘以侧棱长。