董 荟 朱 林

（1.曲靖市陆良县马街镇中心学校 云南曲靖 655600；2.云南师范大学呈贡校区数学学院 云南昆明 650500）

问题的提出

很多老师都有这样疑问，多少以内包括多少还是不包括多少，我也不例外。昨天我们镇数学教师交流群中又有教师提出“10以内的数包括10吗？”就像网上说的很多的“20以内的数包括不包括20？”一样，看了同仁们的一些讨论，我也不能坐视不理了，所以这样的问题很值得我们思索一番。

带着这些问题，我在网上仔细筛选，细细品味大家对这些问题的看法，查阅了一些资料，细细翻看了教材。现在综合一下学习后的一些理解，以供我们学习，权当做抛砖引玉吧。

观点分歧：

观点一：根据字面理解“某数以内”应该不包括某数，既然都说了以内，就应该从它的下面一个看起。

观点二：应该包涵这个数在内，因为教材在编排当中有“某数以内”都是包含了某数，例如如20以内的加减法，就包含了有关20的加减法，又如万以内数的认识，就认识了万，如果不包括的话是不是可以理解成万以内数的认识只能认识到9999这个自然数，20以内的加减法最多能加到19呢？

两种观点中认可“包括某数的”居多，但都只是根据习惯而已，没有相对权威的依据。我们到底是认可“字面理解”不包括“某数”，还是跟着教材的设计走包括“某数”呢？如果包括“某数”那教材设计的依据又在哪里呢？两种理解之间是否有矛盾呢？或者二者在不同场合都可以用呢？

在网上看了好多的见解，早在2007年，龙泉教育网教育论坛对此问题就进行过激烈的讨论，我们的郑大明老师就早已为大家指明了方向。后来发现王明仁教授对这个问题做过深入的研究，并且王教授还为宁夏高级法院对“以下、以上”作过专题讲座。

细看关于王明仁教授的一些研究后发现，原来我们的“字面理解”本来就是错误的理解，教材的认识是对的，看来20以内确实包含20。现将他的一些观点整理如下：

从一个案例说起：

案例：8票“不属三分之二以上”？职称硬是没评上。

王明仁教授讲述了这样一段至今让他难以忘怀的往事。1994年，某大学评定教授职称，有12位评委参加投票。一位老师得了8票后，评委会负责人却认为这位老师未获得文件规定的三分之二以上票数，不能算通过。这位老师不服地说，三分之二以上应该包括8票在内。这位老师为此查阅了许多资料，找来了相关依据。当他满心欢喜地向负责人出示依据，说明三分之二包括8票时，却迎面遭到一瓢冷水：“那些依据管不着我们！”于是，这位老师的教授职称泡汤了。这件事深深地触动着身为中文系教授的王明仁。一种油然而生的责任感，使他决意要将“以上”、“以下”在法律法规和政府规章以及有关文件、教材、报刊中的正确用法，搞个水落石出。

寻根问底找依据：

为了从根子上寻找“病因”，退休后的王明仁教授不断出入学校的图书馆、资料室，抱回《尚书》、《左传》、《国语》、《战国策》等大量古籍以及近现代文献和当代法律法规、报刊、文件、课本等。他发现，从有文献可查的上古汉语开始，“以上”、“以下”的表义和用法都是非常明确、始终一贯的。即：它在表达范围时，从来就包括范围的起点和止点在内，也就是包括“本数”、“本级”在内。

都是乱用惹的祸：

从20世纪二三十年代开始，“以上”、“以下”的用法出现混乱，到了20世纪七八十年代，混乱用法愈演愈烈，其表现形式也多种多样。

汉语“以上”和“以下”两个语言形式，除了单独使用表示指代以外，主要是同名词性成分N组成N以上和N以下结构，表达范围、概数和方位。表达范围，就是表示一系列的事物或者数量，就是从N往上和从N往下的意思。法律法规中的“以上”和“以下”，一般都是表达范围的。这种用法，范围的起点和止点N本来就包括在范围之内。

改革开放以来，随着经济和法制建设的不断发展，各种法律法规和政府规章层出不穷，“以上”和“以下”的使用也越来越频繁。有人自己不明确，又担心别人不理解，于是滥加括注说明。你想“包含”，他想“不包含”；一会儿“包含”，一会儿“不包含”，表义随意安排，进而造成人为的使用混乱。

“以上”和“以下”都是由两个词组成的。“以”在这里是介词或连词，“上”和“下”同“上楼”、“下楼”的“上”、“下”一样，都是趋向动词。所以，古人常把它们替换成其他相应的动词，如“上”和“往”相替换，“下”和“降”相替换，说明“上”和“下”同“往”和“降”一样，都是趋向动词。N以上和N以下结构表义的关键就在这里。也就是说，N以上就是自N推而上之，N以下就是自N推而下之。换句话说，就是从N往上数，从N往下数。推和数的起点就是N，所以N是包括在内的。弄清了这一点，就可以正确理解和使用“以上”、“以下”在法律法规中的用法了。

特级教师胡光锑也对“20以内的数包括不包括20？”做过回复。他说：我翻阅了过去的统编教材和现用教材，一般的教材中，10以内数的认识也包括10，万以内数的认识也认识10000，现行教材为1～10各数的认识，11～20各数的认识就更明确了。不过一说10以内数的认识，大家约定俗成都知道要认识10。

看到这个地方，你对几以内包括几还是不包括几应该有自己的认识和判断了吧？希望同仁们不要放过一细小的问题，慢慢的养成寻根问底的好习惯，这样我们就能在不断的争鸣中进步。