许祥薇　吴义明

【摘要】学习本应是主动的、富有个性的过程，可往往因缺少需求而变成被动的、灌溉式的程序。本文以《用数对确定位置》为例，基于对学生起点的了解激发需求，并以需求为依据不断创生矛盾，让学生在解决层层矛盾时体验新知的产生，以矛盾激需求，在矛盾中体现统一，让学习变得更有意义。

【关键词】数对 矛盾 需求 统一

将一个陌生的知识硬生生地放在学生面前，并要求他们必须去学习，这时他们常常会嘀咕：“我为什么要学这个？这么麻烦？”此时被动接受、无奈吸收就成为这些学生的写照。“被动”转“主动”，“无奈”转“欣喜”，笔者认为激发起学生对新知的渴求是关键，而渴求往往产生于解决不了的矛盾之中。要让学生在体会矛盾、解决矛盾的过程中产生对新知的渴求，教师首先要清楚他们的学习起点。正如奥苏贝尔所指出：“影响学习最主要的原因是学生已经知道了什么”。

教师在教学“确定位置”时，以游戏的形式引导学生学习。在活动中创生多重矛盾，矛盾层层递进，直至确定位置的核心和本质；并在矛盾中解决矛盾，在产生的新矛盾中再解决新的矛盾……直到显露出事物的本质，最后达到矛盾的统一。

第一层，“你写我猜”，制造认知冲突

师：班上有你敬佩的人吗？能不能把他的位置记下来。

学生选择自己喜欢的方式来确定位置。交流展示（见图1），并让其他学生根据这些描述猜一猜到底是谁。

学生从“西北”到“左面的前面”再到“第二组第八个”，范围在不断缩小，真相在慢慢接近。在猜的过程中，让学生回顾了“东南西北”“前后左右”“第几第几”这些已经熟悉的方位词。学生们在对比这些确定位置的方法时发现：要清楚确定一个人的位置至少需要两个数量。

引以为傲的旧知在“说清楚”的面前出现了第一次的不满足。这让学生产生认知冲突：为什么以前很好用的方法今天却无法说清楚自己想要描述的那个人的位置呢？教师激发学生反思旧方法中存在的缺陷，为接下来列、行的学习埋下伏笔。

第二層，“我说你写”，引出方向矛盾

师：重新选择描述方式，记录“A的好朋友B的位置”，要求尽可能地简单又清楚。

通过“你写我猜”的环节，这次学生们几乎都选择了“第几第几”的方式来描述，但描述词五花八门。对比同一种描述发现，即使都是以“第几组第几个”来描述，仍出现了位置的不统一。原来在确定“组”“个”的左右方向、前后方向时，学生各执一词。由此学生感受到“数字”和“方向词”结合才能准确地确定位置。

可是选择什么“词”来描述，“方向”如何规定才更合理、更具说服力呢？学生开始动脑筋，寻求帮助。有的进行小组商议，考虑是否进行内部人为规定；有的求助老师；有的开始查阅课本资料等。感觉可以“说清楚”了，可就是差那么一点点。在学生最需要帮助的时候，拉学生一把，犹如雪中送炭，学生将记忆深刻。

师：描述中“第3组”“第4个”，这里的“3”和“4”都表示什么？

生：“3”指的是第3竖排，“4”指的是第4横排。

师：在数学中，我们把竖排统称为“列”；相对的，横排数学上统称为“行”。

在统一了“第几列第几行”这样的描述后，学生随即提问：“那列与行的方向呢？”教师认为数学学习的重要方式不仅仅是接受学习，还有主动思考、自主探究与合作交流。既然学生发现了问题，就应该给他们空间与时间去解决问题。所以教师反问道：“那你们讨论一下，觉得它们的方向该如何确定是最合适的？”学生对此展开激烈地争论，然后阐述各自小组讨论后的结果。最后学生们认为：按照现在读书的顺序、一般计算的顺序都是“从左往右”，所以他们认为“第几列”应该也是从左往右确定的；按照同学的生活经验，数“行数”都是从前往后数，所以他们认为“第几行”应该是从前往后确定的。

方向的确定由被动地接受“人为规定”转变为自我创造“人为规定”，让学生体验规定的过程，在解决矛盾中达到统一。所谓“学”就是自我解决问题。

第三层，“请你画画”，导出观察各异

师：请你画一画本班的座位表，并且用新学到的确定位置的方式标出自己的位置以及你好朋友的位置。

座位图出现了以上两种形式（见图2的a与b），以讲台为参照，两幅图中的“列”都是从左往右确定的，“行”也都是从前往后数确定的，可是对同一个人的描述仍出现了分歧（见图3）。

对比反思，造成这样的不统一主要源于观察者的位置不同。图2a中学生以自己的视角来描述座位图，讲台在他的前面；而图2b中学生以站在教室中讲台的位置为观察点，即以教师或第三者的位置为观察点。从这样的对比中，学生发现即使描述方式、方向都已经约定，但因观察的位置不同，仍会产生分歧，造成误解。这样的不统一启发学生思考描绘座位图的目的是什么？学生换位思考，重新绘座位图。

经过3轮的矛盾冲击，学生从杂乱无章到统一有序，遇到问题主动解决，在需求中探索新知，重新认识“确定位置”。但数学总是以简洁为美，少部分学生（见图3a）已经产生简单记录的萌芽，教师需要进行强化以激发所有学生的“需求”。

第四层，“位置快闪”，寻找化繁为简

师：学习完“第几列，第几行”，想必我们大家都能用这种方法来确定同学的位置了吧？这里有一些同学喜欢玩快闪，你能不能准确地抓住他们呢？在练习纸上，记录下你看到的同学的位置。

屏幕上“快闪”情境图中出现4个同学的位置。多数学生还没反应过来，动画已经播放结束，只能凭着记忆写下印象最深的那一两个。短短的时间里在情境图中不仅要观察位置的变化还要准确记录位置，这样的要求让学生觉得有些困难。

师：你们遇到了什么困难？

生1：速度太快。

师：那你想……

生1：再放一遍。

生2：画面太复杂。

师：那你想……

生2：去掉人物，用圆圈代替这里的同学。

生3：描述位置时我们要写的字太多，时间不够。

师：那你想……

生3：我们得想想哪些字可以省略。

遇到问题去主动分析，一一击破，这才是学习该有的模样。

按照学生的要求，教师再放一遍，并且将课本情境座位图变为点子图。没有了座位、人物形象的影响，学生个个跃跃欲试。

终极赛结束，所有的学生经过自己的努力都有了属于自己的记录结果（见图4）：有的给自己出了“填空题”，即在我们讨论的间隙，提前写好了所有的“第（ ）列，第（ ）行”；有的找到课本里的情境图；有的快速地将简化座位图在练习纸上描绘出来；还有的在快闪的人名旁边按顺序只记录下两个数字等。

反馈交流，一起评判各自记录结果的优点与缺点。最后明确：图4c是最方便、有效的记录方式。因为前几种方法都是利用大家谈论的间隙去寻找、补充的。如果只有一次快闪机会，前几种方法肯定会以失败告终。图4c能这样记录，前提是大家都认可了“第（ ）列第（ ）行”的描述方式，所以第1个数字表示的是“第几列”，第2个数字表示的是“第几行”。仅仅两个数字就能准确地确定位置，这是数学简洁的美与妙。

最后，在学生总结的基础上，教师规范了记录方式，并明确：像（1，2）这样用来描述位置的一组数，我们数学上叫它为‘数对”。

学生从层层矛盾中体验到了“数对”产生的过程，从需求中应生了统一的规则。数学的教学不能仅仅停留在“让学生学习有价值的数学”，而是“让学生接受数学教育”，从过程中去体验数学的价值、去经历“数学思维”的升华。在体验数学的过程中，我们不应生硬地“拽”着学生跟随教学设计而“表演”，而是应从学生的需求开始，让学生在层层矛盾与需求中体验“约定俗成”的数学方法或定理的产生过程，在不断解决矛盾中碰撞数学的思维。endprint