曾萍 邵婧怡

【摘 要】  根据认知负荷理论，在教学设计方面，恰当的教学设计可以改变外在认知负荷和相关认知负荷.以《基本不等式》为例，分析当前教学中存在的一些“不自然”环节，据此基于认知负荷理论、结合AMA软件及几何画板等信息技术优化基本不等式的教学设计，进而减轻学生的认知负荷，为教师进行教学设计提供参考.

【关键词】  认知负荷;基本不等式;AMA软件;教学设计

1 研究背景

基本不等式 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）是高中数学中最重要的不等式 [1]，已有资料显示，基本不等式大约有29 种证明方法，在高中阶段有 8 种常见变式，其中人教版、苏教版、北师大版教材分别采用弦图、天平、代数三种引入方式 [2-4].以人教版为例，基本不等式是人教版数学必修的内容，从学生所熟悉的赵爽弦图进行引入，由赵爽弦图抽象得出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R），通过替换得到基本不等式，再由代数法证明基本不等式，在课外探究中附以几何法.但在实践教学中，上述过程存在一些“不自然”的环节：首先，由弦图抽象出重要不等式时，等号成立的条件“当且仅当a=b时，等号成立”不易从弦图直接看出，学生未深入理解，从而导致学生在解题中条件缺失;其次， a 、 b 替换a、b，学生是很难直接理解这种替换的，但是这恰恰是基本不等式的本质体现，即两个正数通过基本运算所产生的大小变化 [5];最后，在教学中，基本不等式的证明方法单一，比如只讲解代数法这一种证明方法，或者是在讲解代数法与几何法两种证明方法时，并没有讲证明方法之间的关系，没有拓展其他证明方法 [6].导致学生并没有从多种视角理解基本不等式，仅是机械记忆.在教学中，如何设计才能使学生体验到基本不等式发现与创造的过程，并激发学生学习基本不等式的热情，扩展视野，理解基本不等式的本质，这一问题具有十分重要的意义.

认知负荷理论，是由澳大利亚认知心理学家斯韦勒（Sweller）提出，是指在完成任务过程中工作记忆系统需要进行加工与保持的信息总量 [7-8]，并提出由教学设计（如材料呈现方式和要求学生从事的活动）引起的工作记忆负荷称为外在认知负荷（extraneous cognitive load）.内在负荷不能通过教学设计加以改变 .而外在负荷是可以通过改变材料呈现方式或学习者的活动来改变.

因此，这里将基于认知负荷理论设计基本不等式教学，就如何让学生充分经历公式提炼概括过程，领会基本不等式的实质做进一步的探究.

2 基本不等式教学设计

2017年版课标中对于不等式的内容安排，主要分为两个部分：第一部分在必修课程中主题一预备知识部分：掌握描述不等关系的数学方法、不等式的基本性质，并要以此建立三个不等关系的模型：一元二次不等式、二元一次不等式（组）和基本不等式，及简单应用;第二部分在选择性必修课程中主题一函数部分：一方面，用导数研究函数的单调性和解函数的极值与最值问题，从而研究不等式的性质，另一方面，利用不等式刻画函数性质 [5].

其中，“基本不等式”是人教版高中数学的必修内容，在此章节中，首先以2002年北京市召开的第24届国际数学大会会标作为问题背景进行引入（见图1），提出“你能在这个图形中找出相等关系或不等关系吗？”，接着通过互动抽象概括，提炼出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）并给予几何解释，其次进行演绎替换得到基本不等式，然后通过代数证明、与探究部分中的几何证明引导学生认识基本不等式，最后通过实际应用加以巩固.从认知负荷理论视角分析，此过程存在如下问题：第一，用弦图表示重要不等式的等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立）不易直接从弦图看出，不易理解;第二，以 a 、 b 替换a、b得出基本不等式的过程不自然;第三，基本不等式证明方法单一，未将代数与几何相 联系.

台湾交通大学陈明璋教授及其团队，基于多媒体学习认知理论和认知负荷理论，研发的Activate Mind and Attention 软件（简称 AMA），有强大的激发式动态呈现功能和图形绘制功能，弥补了PPT 的部分功能不足，这里将基于AMA软件并结合认知负荷理论对“基本不等式”教学设计进行优化 [9].

2.1 创设赵爽弦图情境，提炼数学模型

基本不等式的提炼方法，是由赵爽弦图抽象出重要不等式，进而替换得到基本不等式的过程.具体课件设计如下：

环节1：由赵爽弦图抽象出重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）.

第1步：画出一直角三角形，直角边分别为a、b（如图2①）.

第2步：把此直角三角形利用AMA软件中Clone（复制）功能，得到四个直角三角形（如图2②），并对复制的三角形进行步骤化移动、翻转，得到赵爽弦图，为了避免字母对视觉的干扰，把字母去掉，仅保留一个直接三角形的三边长（如图2③），其边长分别为a、b、 a2+b2 .

第3步：把移动后大正方形中的四个三角形用阴影标记，并在交点处用英文符号加以标记（如图2④）.

第4步：教师引导学生得出大正方形面积a2+b2，四個直角三角形面积2ab，并且a2+b2>2ab.

第5步：将G、F、H、E收缩为一个点（如图2⑤），进一步展示取等号的条件，即a=b时 a 2+ b 2=2ab，从而得出结论： a 2+ b 2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）此为重要不等式.

设计意图：由赵爽弦图抽象出重要不等式，这一引入以学生的“最近发展区”为起点（学生在初中接触过赵爽弦图，即用赵爽弦图证明勾股定理等），考虑新旧知识的联系，增加相关认知负荷，促进学生接受新知，同时让学生感受到“由形到数”的数学思想，同时在图形的形成过程中，采用步骤化呈现的方式，以一个直角三角形复制形成四个直角三角形，便于学生在记得原来图形大小与形状的基础上，对图形信息进一步加工处理，即四个直角三角形是全等三角形，便于后面的计算，减少学生对图形进一步加工处理的外在认知负荷;在第三步中使用阴影颜色对图形进行标记，有层次地突显教学内容主体，即四个小三角形的面积，能有效地引起学生的注意，提高学生学习效率;在第五步中，改变过去教学中直接叙述等号成立条件的方式，通过在原图形上进行动态的拉缩，可以更加清晰地突出边与边之间的关系，并且减少视觉对图形位置改变的处理，减少注意力的分散.

环节2：替换提炼基本不等式

问题1：通过赵爽弦图，我们层层递进，得到了重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R），你能否用文字语言叙述一下这个不等式所反映出的规律？

引导学生注意是两个非负数的和与一个乘积的大小关系，进而得出两个非负数的和不小于它们平方根的乘积.

问题2：用简练的a、b表示上述两个非负数，可以得出什么关系式？

从而引导学生，当a≥0，b≥0时通过替换得到不等式a+b≥2 ab ，对此不等式进行简单变形，就得到了要学习的基本不等式： ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0） .

问题3：为什么称 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）为基本不等式呢？

从“数及其运算”的角度看， a+b 2 为两个正数的平均数， ab 为两个非负数的几何平均数，两个正数通过四种运算（加法、乘法、除法和开方），催生出它们的算术平均数与几何平均数的内在规律.因而，基本不等式涉及到代数与几何中的“基本量”，这一形式与重要的数学概念和性质相关.不仅体现出基础知识的联系，而且表述形式相当简洁.

设计意图：通过递进式的课堂提问，就一个问题由浅到深的探讨，根据问题效应表明，每一步给出足够而又不超载的信息帮助学生逐步解决问题， “让问题处于学生思维水平的最近发展区”，添设思维阶梯，可以降低学生对新旧问题的整合，降低外在认知负荷，并深化学生对基本不等式的进一步思考.

2.2 拓展几何与函数证明方法，体验逻辑思维

教材中给出了详细的代数证明法的步骤，但是对于几何法是作为探究给出，未给予详细介绍，在实践教学中，不少教师将其一提而过，在此拓展多种视角帮助学生理解基本不等式.

几何视角：直角三角形斜边上的高不大于中线的模型.

第1步：在淡化颜色的正方形网格里，采用作圆的方式，构造出线段AB，长度为a+b;并在其上取一点D，使得AD=a，DB=b;再以线段AB为直径作⊙O;过点D作线段AB的垂线，交⊙O于点C，得Rt△ABC（如图3），连接CD、CO（如图4）.

第2步：为了突出呈现想要比较的线段大小，采用①②将线段标出，以①代替CD，以②代替CO，得出①<②.（如图5）

第3步，在原图上拖动D点与O点重合，直接观察可得出当且仅当a=b时①=②（如图6）.

设计意图：人的短时记忆是7±2个组块，因而设计8×8的正方形网格，为几何直观提供载体，有利于学生度量线段长度 [13].线段长度在形式上采用①②代替大写字母标记线段与数学式子标记线段的方式，避免了学生在观察图形的过程中需保持文字、符号相一致而引起的认知负荷量增大，并且采用步骤化呈现，从而可以减轻外在认知负荷，增大学习 效率.

函数视角：基本不等式本质上是函数凹凸性的反映.

如果函数f（x）是下凸函数，则有f（x）+f（y）≥2f（ x+y 2 ）成立.比如构造函数f（x）=ex，因为f（x）是下凸函数，所以ex+ey≥2e  x+y 2 ，由a>0，b>0，可令a=ex，b=ey，a+b≥2 ab ， a+b 2 ≥ ab .

如图7在图形上任取两点A、B，得到E（  xA+ xB 2 ，  yA+ yB 2 ），观察图形可得出结论.

设计意图：除教材中给予的代数视角，拓展几何与函数视角证明基本不等式，引申拓展多个视角分析，不仅拓展视野，而且考虑学生抽象思维发展水平的差异性，学习者具有不同的心理特征，根据其最近发展区，个性化成为有用的减少认知负荷的设计方法，利于每个学生深入理解基本不等式.

3 “基本不等式”课件中体现的设计策略

3.1 考虑新旧知识联系

根据认知负荷的相邻性原则，即在时间或空间上呈现意义相邻的内容，以增加相关认知负荷，提高教学效率.

在基本不等式这节课的教学中， 由赵爽弦图抽象出重要不等式，这一引入从学生的“最近发展区”出发 [10]，因为学生在初中已经接触过赵爽弦图，即利用赵爽弦图证明勾股定理等，考虑到新旧知识的联系，增加了相关认知负荷，有助于学生对知识的同化与顺应，构建知识系统.

3.2 步骤化呈现

利用课件对教学内容进行步骤化呈现，体现认知负荷的分割原则 [11]，现在教学中，教师往往直接呈现一个完整图形，缺少步骤化，使学生不能很好地理解图形形成过程从而不能深入理解问题.

在基本不等式课件设计中，图形采用步骤化呈现，通过一步步地呈现图形形成过程中变量与不变量的关系，有助于学生抽象概括得出基本不等式的本质，减少外在认知负荷.3.3 问题引导

在教学过程中注重问题的引导，用简练的语言呈现教学内容，减少冗余，并通过听觉与视觉的多通道原则 [12]，有效减少视觉或听觉单一通道加工信息的认知负荷.

在提炼概括得出基本不等式这一环节上体现出此原则，递进式的问题提问，注重语言引导与多媒体展现，减少学生外在认知负荷，启发学生进一步思考，建构合理的知识体系.3.4 关联信息捆绑

根据分散注意效应这一原则，如果认知任务中含有两种或多种分散的信息源的时候，认知主体在进行加工处理时，必需将注意力分散、搜索、整合各种源的关联信息，进而产生了较大的认知负荷，因而，基于分散注意效应原则 [11]，在进行教学设计时，尽量做到使其在空间上接近，时间上同步.

由赵爽弦图得出重要不等式及基本不等式证明的作图过程中，将数学表达式列于图上，使学生同时同步关注，减少注意的分散，减少认知负荷，提高学习效率.3.5 运用符号标记

在课件设计时运用符号标记，体现容量有限假设，即工作记忆中保持、操作图片与文字的容量是有限的，因而，在課件设计中尽量简洁有条理，用简练的数字代表字母标记的线段或者数学公式，并在需要强调的文字部分用鲜明的颜色，在需要强调的图形部分，用红色或绿色箭头加以标记.

在基本不等式的课件设计中，图形中需要强调的部分用阴影进行填涂，减少冗余信息的干扰，减少外在认知负荷，促进学生对信息的加工与处理，提高教学效率.

参考文献

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