摘 要：平面解析几何经常会碰到判定或证明平面曲线系过定点的问题。本文从含有一个或两个参数的曲线系来谈过定点问题的解法。

关键词：过定点；参数曲线系；几何

平面解析几何定值问题中，经常会碰到一类判定或证明平面曲线系过定点的问题。本文试从含有一个或两个参数的曲线系来谈过定点问题的解法。

一、 含有一个参数的曲线系

（一） 赋值法

若已知含参数方程为直线方程，我们可以取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点。例如：无论m取何实值，（3m+4）x+（2m-3）y=1所表示的直线恒过一定点，求定点坐标。令m=0，得4x-3y=1；m=1，得7x-y=1，求得交点坐标217，-317，即定点。此法具有普适性，但是需验证交点坐标也适合直线方程。

（二） 数形结合思想

若已知含参方程为曲线方程，我们可以将参数方程化为所学过的圆的方程或者圆锥曲线方程形式来解决问题。

例如：设函数f（x，y）=x2+4（m-2）+y2-8my+645=0，求定点坐标。

[x+2（m-2）]2+（y-4m）2=[25（m-25）]2

即m=25时得过定点（165，85）。

（三） 分离系数法

若已知方程是含有参数m的方程，我们可以把系数中的m分离出来，化为mF（x，y）+G（x，y）=0的形式，由F（x，y）=0且G（x，y）=0解出x和y的值，即得定點坐标。

二、 含有两个参数的曲线系

对于过定点的双参数曲线系的问题，若已知方程是含有参数m、n的方程，且可以化为mF（x，y）+nH（x，y）=G（x，y）的形式，那么仍可以利用上述分离系数方法解决，即F（x，y）= H（x，y）= G（x，y）=0。在学习中发现若已知方程是含有参数m，n的方程，化成mF（x，y）+nH（x，y）= G（x，y）形式，且m，n满足线性约束条件αm+βn=y，则借助直线与方程系数对应相等或成比例解法较快捷。

当曲线过定点A（x0，y0），则可得

mF（x0，y0）+nH（x0，y0）=G（x0，y0）

αm+βn=y

当曲线过A点时，关于m，n的直线方程应有无穷各个解，或两直线重合。……