眾所周知，不等式具有灵活多样，解法多变的特点，是日常学习与考试竞赛中的重点之一.其普遍思路以构造、证明基本不等式为主，同时也可利用参数讨论、数形结合等思想进行求解与证明.对于一些采用常规解法较为烦琐的题目，利用一些其他的思想方法进行求解可能会十分简洁明了.作者针对2015年清华大学自主招生试题中的一道选择题提出了一种利用空间解析几何的简单解法，体现数形结合思想与方法在一些不等式问题上的妙用，供大家参考.

原始题目已知x，y，z为非负实数，且满足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的最小值为（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

改编题目已知x，y，z为非负实数，且满足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的取值范围.

一、空间解析几何巧解

思路：利用伸缩变换及空间图形关系求解.

由题目4x2+4y2+z2+2z=3，

则4x2+4y2+（z+1）2=4.

令m=2x，n=2y，p=z，

则上式写作m2+n2+（p+1）2=22，

待求式写作5x+4y+3z=52m+2n+3p.

以m，n，p为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

根据空间直角坐标系中球体方程，不难得出，m2+n2+（p+1）2=22在坐标系中的图像是以点A（0，0，-1）为球心，半径为2的球面.

∵m=2x≥0，n=2y≥0，p=z≥0，

∴仅考虑第一卦限及坐标轴正半轴的图形.

下面，计算球面与坐标轴正半轴的交点分别为B（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，1），交点如图所示.

以待求式构建动平面RST的方程

t=52m+2n+3p（t≥0）.

可求得在m，n，p轴上截距分别为25t，12t，13t.

不难发现，在t变化时，上述方程表示的图形为截距比恒定的一系列平行平面.

动平面与球面有交点时t值构成的集合即为t的取值范围，即为所求.

分析可知，动平面与球可能相切或相交.当相切时，恰有t满足题意且最大.

（一）求解最大值

利用点到面的距离公式d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2，

必有球心（0，0，-1）到……